צירוף לינארי של וקטורים מתוך קבוצה

מתמטיקה
1

נתונה הקבוצה הבאה ב-\mathbb{R}^4:

D=\{(1,0,1,0),(0,1,1,1),(2,3,5,3),(0,0,1,0),(1,1,3,1)\}

א. האם D תלויה לינארית? אם כן, מצאו וקטור ב-D שהוא צירוף לינארי של האחרים. אם לא, הוכיחו זאת.
ב. האם D פורשת את \mathbb{R}^4? נמקו.
ג. האם הוקטור (1,0,1,1) הוא צירוף לינארי של וקטורי D? נמקו.

אתם יכולים להביא לי כיוון לסעיף ג’ של השאלה הזאת?
תודה רבה.

2

נפתור את סעיף ג’. נסמן את הוקטורים בקבוצה D ב-u_i כאשר 1\leq i\leq 5 לפי הסדר. נבדוק האם הוקטור v=(1,0,1,1) הוא צירוף לינארי של וקטורי D. לשם כך, עלינו לבדוק אם קיימים סקלרים \lambda_i\in \mathbb{R} כאשר 1\leq i\leq 5 כך שמתקיים:

\lambda_{1}u_{1}+\lambda_{2}u_{2}+\ldots+\lambda_{5}u_{5}=v

נציב במטריצה כך שנקבל:

M=\begin{pmatrix}1 & 0 & 2 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 3 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 5 & 1 & 3 & 1\\ 0 & 1 & 3 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}

נדרג את המטריצה כך שנקבל את המטריצה הבאה:

M'=\begin{pmatrix}1 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 3 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

כלומר קיבלנו את שורת האפסים הבאה:

0\cdot\lambda_{1}+\ldots+0\cdot\lambda_{5}=1

זאת כמובן סתירה. לכן, נוכל להסיק כי לא קיימים סקלרים \lambda_i\in \mathbb{R} כאשר 1\leq i\leq 5 כך שמתקיים:

\lambda_{1}u_{1}+\lambda_{2}u_{2}+\ldots+\lambda_{5}u_{5}=v

כלומר, הוקטור v=(1,0,1,1) אינו צירוף לינארי של וקטורי הקבוצה D.

עריכה: בסעיף הראשון אתה צריך לבדוק האם קיימים סקלרים \lambda_i\in \mathbb{R} כאשר 1\leq i\leq 5 כך שמתקיים:

\lambda_{1}u_{1}+\lambda_{2}u_{2}+\ldots+\lambda_{5}u_{5}=0

בדיוק כמו שהראנו קודם, רק כשפעם אתה מסתכל על וקטור האפסים. אם הפתרון היחיד למערכת המשוואות הוא \lambda_i=0 אז בהכרח הם בלתי תלויים לינארית, אחרת הם תלויים. רמז - הם תלויים.
בסעיף השני, כאמור הקבוצה D היא תלויה לינארית ולכן תוריד את הוקטור המיותר. לאחר מכאן, תבדוק אם ניתן לייצג כל וקטור (a,b,c,d)\in\mathbb{R}^4 כצירוף לינארי של וקטורי הקבוצה D. אין פה הרבה מחשבה, נטו לתרגל טכניקה של דירוג מטריצה.

3

הבנתי תודה רבה !!
אשמח גם לכיוון לדרך של שני הסעיפים האחרים.