נמצא את הקבוצה הפורשת של התת-מרחב U:
\begin{align*}
U&=\left\{ (x,y,z)\,|\,x+y+z=0\right\} \\&=\left\{ (x,y,-x-y)\,|\,x,y\in\mathbb{R}\right\} \\&=\left\{ x(1,0,-1)+y(0,1,-1)\,|\,x,y\in\mathbb{R}\right\} \\&=\mathrm{span}\left\{ (1,0,-1),(0,1,-1)\right\}
\end{align*}
נמצא את הקבוצה הפורשת של התת-מרחב W:
\begin{align*}
W&=\left\{ (x,y,z)\,|\,x=z\right\} \\&=\left\{ (x,y,x)\,|\,x,y\in\mathbb{R}\right\} \\&=\left\{ x(1,0,1)+y(0,1,0)\,|\,x,y\in\mathbb{R}\right\} \\&=\mathrm{span}\left\{ (1,0,1),(0,1,0)\right\}
\end{align*}
נרצה למצוא עבור אילו סקלרים \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4\in\mathbb{R} מתקיים:
\lambda_{1}(1,0,-1)+\lambda_{2}(0,1,-1)+\lambda_{3}(1,0,1)+\lambda_{4}(0,1,0)=(1,2,3)
נציב בתוך מטריצה:
M=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0 & 1 & 2\\
-1 & -1 & 1 & 0 & 3
\end{pmatrix}
נדרג את המטריצה כך שנקבל:
M'=\begin{pmatrix}2 & 0 & 0 & -1 & -4\\
0 & 1 & 0 & 1 & 2\\
0 & 0 & 2 & 1 & 6
\end{pmatrix}
מערכת המשוואות המתאימה למטריצה הינה:
\begin{cases}
2\lambda_{1}-\lambda_{4}=-4\\
\lambda_{2}+\lambda_{4}=2\\
2\lambda_{3}+\lambda_{4}=6
\end{cases}
לכן, למשל נבחר \lambda_4=0 ונקבל:
\begin{cases}
\lambda_{1}=-2\\
\lambda_{2}=2\\
\lambda_{3}=3\\
\lambda_{4}=0
\end{cases}
לכן את הוקטור v=(1,2,3) ניתן להציג באופן הבא:
(-2)\cdot(1,0,-1)+2\cdot(0,1,-1)+3\cdot(1,0,1)+0\cdot(0,1,0)=(1,2,3)
הווקטור הבא:
u=(-2)\cdot(1,0,-1)+2\cdot(0,1,-1)=(-2,2,0)
נמצא ב-U. ואילו הווקטור הבא:
w=3\cdot(1,0,1)+0\cdot(0,1,0)=(3,0,3)
נמצא ב-W. הסכום שלהם הינו:
u+w=(1,2,3)
כנדרש.