נתונה הפונקציה f(x)=\frac{1}{\sin(x)}-\frac{1}{\cos(x)}.
הוכיחו כי הפונקציה מקבלת בקטע \left(0,\frac{1}{2}\pi\right) כל ערך ממשי בדיוק פעם אחת.
תודה לעוזרים! 
שלום @Psysion, מה ניסית לעשות? הרעיון בפורום הוא לכוון אותך אל הפתרון ולא לפתור לך את התרגילים. כמו כן, אם אתה יודע להשתמש ב-\LaTeX אז למה שלא תכתוב את המשוואות כאן במקום להעלות תמונות? ראה מדריך - כתיב מתמטי ב-SolX
נוכיח כי הפונקציה הנתונה f מקבלת על ערך ממשי בדיוק פעם אחת, בקטע I=\left(0,\frac{1}{2}\pi\right). לשם כך, עלינו להראות:
- הפונקציה מקבלת כל ערך ממשי לפחות פעם אחת.
- הפונקציה מקבלת כל ערך ממשי לכל היותר פעם אחת.
לכל x\in I מתקיים \sin(x),\cos(x)>0 ולכן הפונקציה f מוגדרת בתחום I. כמו כן, הפונקציה f רציפה וגזירה בתחום I כהרכבה של פונקציות רציפות וגזירות בתחום זה. נוכיח כי הפונקציה מקבלת כל ערך ממשי לפחות פעם אחת. נשים לב כי מתקיים:
\lim_{x\to 0^+}\frac{1}{\sin(x)}=\infty,\,\lim_{x\to 0^+}\frac{1}{\cos(x)}=1
לכן ע"פ אריתמטיקה של גבולות נקבל:
\lim_{x\to 0^+}\left(\frac{1}{\sin(x)}-\frac{1}{\cos(x)}\right)=\infty
כמו כן, נשים לב כי מתקיים:
\lim_{x\to \frac{\pi}{2}^-}\frac{1}{\sin(x)}=1,\,\lim_{x\to \frac{\pi}{2}^-}\frac{1}{\cos(x)}=\infty
לכן ע"פ אריתמטיקה של גבולות נקבל:
\lim_{x\to \frac{\pi}{2}^-}\left(\frac{1}{\sin(x)}-\frac{1}{\cos(x)}\right)=-\infty
יהי t\in\mathbb{R} כלשהו.
הראנו כי מתקיים \lim_{x\to 0^+}f(x)=\infty ולכן ע"פ הגדרת הגבול קיים 0<\delta_1<\frac{1}{2} כך שלכל 0<x<\delta_1 מתקיים f(x)>t. נבחר 0<x_1<\delta_1 כך שמתקיים f(x_1)>t.
כמו כן, הראנו כי מתקיים \lim_{x\to \frac{\pi}{2}^-}f(x)=-\infty ולכן ע"פ הגדרת הגבול קיים 0<\delta_2<\frac{1}{2} כך שלכל \frac{\pi}{2}-\delta_2<x<\frac{\pi}{2} מתקיים f(x)<t. נבחר \frac{\pi}{2}-\delta_2<x_2<\frac{\pi}{2} כך שמתקיים f(x_2)<t.
קיבלנו f(x_2)<t<f(x_1) כאשר 0<x_1<x_2<\frac{1}{2}\pi.
הראנו קודם כי הפונקציה f רציפה בתחום I ולכן בפרט היא רציפה בתחום [x_1,x_2]\subseteq I. לפיכך ע"פ משפט ערך הביניים קיימת נקודה c\in[x_1,x_2] כך שמתקיים f(c)=t. מאחר ומתקיים [x_1,x_2]\subseteq I אז ע"פ הגדרת הכלה נובע כי קיימת נקודה c\in I כך שמתקיים f(c)=t. הראנו כי הפונקציה מקבלת לפחות נקודה אחת בתחום I.
נוכיח כעת כי הפונקציה מקבלת לכל היותר נקודה אחת בתחום I. כאמור הפונקציה f גזירה בתחום I ולכן נגזור אותה:
f'(x)=-\frac{\cos(x)}{\sin^{2}(x)}-\frac{\sin(x)}{\cos^{2}(x)}=-\left(\frac{\cos^{3}(x)+\sin^{3}(x)}{\sin^{2}(x)\cdot\cos^{2}(x)}\right)
הפונקציה f'(x) שלילית בתחום I. אפשר להוכיח זאת על-ידי התבוננות בפונקציה במונה g(x)=\cos^{3}(x)+\sin^{3}(x) ועל-ידי התבוננות בפונקציה במכנה h(x)=\sin^{2}(x)\cdot\cos^{2}(x). שתי הפונקציות g ו-h הן חיוביות בתחום I ולכן הנגזרת של הפונקציה f שלילית בתחום I. קיבלנו כי לכל x\in I מתקיים f'(x)<0 ולכן הפונקציה f יורדת בתחום I. הפונקציה f חד-חד-ערכית ולכן מקבלת כל ערך ממשי לכל היותר פעם אחת בתחום I.
סה"כ הראנו כי הפונקציה f מקבלת כל ערך ממשי בדיוק פעם אחת בתחום I, כנדרש.
מקווה שמובן, בהצלחה