הוכחת התכנסות של טור המורכב מסכום של סדרות

מתמטיקה
1

תהא A_n כך שהטור \sum|A_n| מתכנס. צריך להוכיח כי הטור הבא:

\sum\left(3|A_n|+2\cdot A_n+\frac{\sin(n)\cdot A_n}{n}\right)

מתכנס.
הבנתי שערך מוחלטת של A_n מתכנס על פי אריטמטיקה ו-2A_n עקב התכנסות מוחלטת. השאלה היא מה לעשות על מנת להוכיח שהביטוי השלישי בסכום מתכנס ולהגיד אז כי סכומי טורים מתכנסים מתכנסים גם כן.
הרעיון היה לקחת את \sin(n) ולהגיד כי ערכי הביטוי המקסימליים הם 1 או -1 כלומר הביטוי לא תמיד חיובי. לופיטל? או מבחן השוואה? אשמח לפירוט כיצד לגשת לשאלה.

2

ע"פ אי-שוויון המשולש מתקיים:

\left|3|A_n|+2\cdot A_n+\frac{\sin(n)\cdot A_n}{n}\right|\leq 3|A_n|+2|A_n|+\frac{|\sin(n)|}{n}\,|A_n|

לכל x מתקיים |\sin x|\leq |x| ולכן נקבל \frac{|sin n|}{n}<1 לכל n. אם אתה לא יכול להשתמש בזהות הזאת אז אתה יכול להשתמש בזהות |\sin x|\leq 1 לכל x ולקבל \frac{|sin n|}{n}<\frac{1}{n}<1 לכל n. לפיכך נקבל:

3|A_n|+2|A_n|+\frac{|\sin(n)|}{n}\,|A_n|\leq 3|A_n|+2|A_n|+|A_n|=6|A_n|

ידוע כי הטור \sum |A_n| מתכנס ולכן הטור המבוקש מתכנס בהחלט ובפרט הוא מתכנס.