הוכחת מבחן המנה לגבולות

מתמטיקה
1

מבחן המנה לגבולות: תהי (a_n)_{n=1}^{\infty} סדרה, שכל איבריה שונים מאפס.

  1. אם \lim_{n\to\infty}\bigg|\frac{a_{n+1}}{a_n}\bigg|<1 אז \lim_{n\to\infty}a_n=0.
  2. אם a_n>0 לכל n טבעי, ומתקיים \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}>1 או \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\infty אז \lim_{n\to\infty}a_n=\infty.

כיצד אני צריך להוכיח את המשפט?
ניסיתי להשתמש באריתמטיקה של גבולות אבל ללא הצלחה.
אשמח להסבר, תודה רבה :slight_smile:

2

כדי להוכיח את המשפט, נצטרך להוכיח שתי טענות עזר.

טענת: הסדרה (a_n) אפסה אם"ם הסדרה (|a_n|) אפסה.
הוכחה של טענת העזר הראשונה:
הסדרה (a_n) אפסה אם"ם \lim_{n\to\infty}a_n=0, כלומר אם"ם לכל \epsilon>0 קיים N טבעי, כך שלכל n>N מתקים |a_n-0|<\epsilon.
באותו אופן, הסדרה (|a_n|) אפסה אם"ם \lim_{n\to\infty}|a_n|=0, כלומר אם"ם לכל \epsilon>0 קיים N טבעי, כך שלכל n>N מתקים \big||a_n|-0\big|<\epsilon.
היות ומתקיים:

\big||a_n|-0\big|=|a_n|=|a_n-0|

נקבל כי שתי הטענות שקולות ולכן הסדרה (a_n) אפסה אם"ם הסדרה (|a_n|) אפסה

טענה: תהי (a_n)_{n=1}^{\infty} סדרה, שכל איבריה שונים מאפס, ויהי 0<r<1 מספר ממשי.
אם כמעט לכל n טבעי מתקיים:

\bigg|\frac{a_{n+1}}{a_n}\bigg|\leq r

אזי מתקיים:

\lim_{n\to\infty}a_n=0

כלומר הסדרה אפסה.
הוכחה של טענת העזר השנייה: נטפל תחילה במקרה בו האי-שוויון מתקיים לכל n טבעי. נרשום אותו בצורה הבאה:

|a_{n+1}|\leq r|a_n|

באינדוקציה פשוטה ניתן להוכיח כי מתקיים:

|a_n|\leq |a_1|r^{n-1}=\frac{|a_1|}{r}r^n

לכן נקבל:

0\leq |a_n|\leq \frac{|a_1|}{r}r^n

מאחר ומתקיים 0<r<1 נובע \lim_{n\to\infty}r^n=0. לכן ע"פ משפט הסנדוויץ מתקיים \lim_{n\to\infty}|a_n|=0. לכן ע"פ טענת העזר הראשונה נקבל \lim_{n\to\infty}a_n=0.
במקרה הכללי, אם התנאי |a_{n+1}/a_n|\leq r מתקיים החל מהמקום ה-N, נמחק את N האיברים הראשונים בסדרה ונקבל שהתנאי מתקיים עבור הסדרה החדשה לכל n טבעי. הסדרה המתקבלת היא אפסה ולכן ממשפט ההזזה נובע כי גם הסדרה המקורית אפסה.

כעת, נוכיח את מבחן המנה לגבולות. תחילה נוכיח את המשפט הראשון. נגדיר:

r=\lim_{n\to\infty}\bigg|\frac{a_{n+1}}{a_n}\bigg|

מאחר ומתקיים r<1, נוכל לבחור מספר ממשי כלשהו r<s<1. לכן מתקיים:

\bigg|\frac{a_{n+1}}{a_n}\bigg|<s

ע"פ טענת העזר השנייה נובע \lim_{n\to\infty}|a_n|=0 ולכן ע"פ טענת העזר הראשונה נקבל \lim_{n\to\infty}a_n=0.
כעת נוכיח את המשפט השני במבחן המנה לגבולות. נתבונן בסדרה b_n=\frac{1}{a_n} לכל n טבעי. נשים לב כי מתקיים:

\lim_{n\to\infty}\bigg|\frac{a_{n+1}}{a_n}\bigg|=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{|a_{n+1}/a_n|}<1

אולם, לכל n טבעי מתקיים:

\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{a_n}{a_{n+1}}

לכן נקבל:

\lim_{n\to\infty}\bigg|\frac{b_{n+1}}{b_n}\bigg|<1

ע"פ המשפט הראשון של מבחן המנה לגבלות נקבל כי הסדרה b_n אפסה. לפיכך נקבל בסה"כ:

\lim_{n\to\infty} a_n=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{b_n}=\infty

כנדרש.