הוכחת גבול בעזרת סדרת הממוצעים ההנדסיים

מתמטיקה
1

שלום לכולם, נתון הגבול המורכב הבא:

\lim_{n\to\infty}\left(\sqrt[n]{1}\cdot \sqrt[2n]{2}\cdot \sqrt[3n]{3}\ldots \sqrt[n^2]{n}\right)

כיצד אני מחשב את הגבול?
אני יודע שאני צריך להשתמש בסדרת הממוצעיים ההנדסיים.
אולם לא מצליח להבין כיצד.
אשמח להכוונה כיצד לפתור את השאלה.
תודה רבה!

2

למען הסדר הטוב, נסביר תחילה מהי סדרת הממוצעיים ההנדסיים.
תהי (a_n)_{n=1}^{\infty} סדרת מספרים חיוביים.
הסדרה (c_n)_{n=1}^{\infty} המוגדרת על-ידי:

c_n=\sqrt[n]{\prod_{i=1}^n a_i}

נקראת סדרת הממוצעים ההנדסיים של הסדרה (a_n)_{n=1}^{\infty}.

קיים משפט שנשתמש בו כאן כדי לחשב את הגבול. המשפט הוא כדלקמן:
תהי (a_n)_{n=1}^{\infty} סדרת מספרים חיוביים ותהי (c_n)_{n=1}^{\infty} סדרת הממוצעיים ההנדסיים שלה. אם הסדרה (a_n)_{n=1}^{\infty} שואפת לגבול (סופי או אינסופי) אז הסדרה (c_n)_{n=1}^{\infty} שואפת לאותו הגבול.

כעת, נמצא את הגבול הבא:

\lim_{n\to\infty}\left(\sqrt[n]{1}\cdot \sqrt[2n]{2}\cdot \sqrt[3n]{3}\ldots \sqrt[n^2]{n}\right)

נסמן:

a_n=\sqrt[n]{1}\cdot \sqrt[2n]{2}\cdot \sqrt[3n]{3}\ldots \sqrt[n^2]{n}

נעל בחזקת n ונקבל:

a_{n}^n=\sqrt[1]{1}\cdot \sqrt[2]{2}\cdot \sqrt[3]{3}\ldots \sqrt[n]{n}

כלומר מתקיים:

a_n=\sqrt[n]{1\cdot\sqrt[2]{2}\cdot\sqrt[3]{3}\cdot\ldots\cdot\sqrt[n]{n}}

הסדרה (a_n)_{n=1}^{\infty} היא סדרת הממוצעים ההנדסיים של הסדרה (\sqrt[n]{n}) המתכנסת ל-1 ולכן לפי המשפט שציינו הגבול של הסדרה (a_n)_{n=1}^{\infty} הוא 1.