חישוב גבול עם עצרת ולוגריתם

שלום לכולם, אני מתקשה לחשב את הגבול הבא:

\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\ln\left(\frac{n^n}{n!}\right)

אף פעם לא יצא לי לחשב גבול עם עצרת. ניסיתי לפתור במספר דרכים אבל שום דרך לא הובילה לתשובה. אשמח להכוונה כיצד לחשב את הגבול הנ"ל.
תודה רבה.

נגדיר a_n=\left(\frac{n^n}{n!}\right)^{1/n}. נוכיח כי הגבול של a_n הוא e.
נעלה בחזקה ונקבל (a_n)^n=\left(\frac{n^n}{n!}\right). לפיכך, נוכל להסיק כי מתקיים:

(a_n)^{n+1}=\frac{\left ( n+1 \right )^\left ( n+1 \right )}{(n+1)!}

כמו כן, מתקיים:

a_n=\frac{(a_n)^{n+1}}{(a_n)^{n}}=\frac{\frac{\left ( n+1 \right )^\left ( n+1 \right )}{(n+1)!}}{\frac{n^n}{n!}}=\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^{n}

לפיכך, נוכל להסיק כי מתקיים:

\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^{n}=e

כמו כן, לכל n טבעי מתקיים:

\frac{1}{n}\ln\left(\frac{n^n}{n!}\right)=\ln\left(\frac{n}{(n!)^{\frac{1}{n}}}\right)

לפיכך נובע:

\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\ln\left(\frac{n^n}{n!}\right)=\lim_{n\to\infty}\ln\left(\frac{n}{(n!)^{\frac{1}{n}}}\right)=\ln(e)=1

כלומר הגבול המבוקש הוא 1.
בהצלחה :slight_smile:

בפתרון נשתמש בנוסחת סטירלינג. זהו קירוב מתמטי לערך של n! עבור ערכים גדולים של n. ע"פ נוסחה זו מתקבלת הזהות:

\ln(n!)\approx n\ln(n)-n

ע"פ תכונות של הלוגריתם נקבל:

\frac{1}{n}\ln\left(\frac{n^n}{n!}\right)=\ln\left(\frac{n}{(n!)^{1/n}}\right)=\ln n - \ln (n!^{1/n}) = \ln n - \frac{1}{n} \ln n!

כעת, נשתמש במסקנה של נוסחת סטירלינג ונקבל:

\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\ln\left(\frac{n^n}{n!}\right)=\lim_{n\to\infty}\ln n - \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n} \ln n!=\lim_{n\to\infty}\ln n - \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n} n \ln n + \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n} n=1

לכן הגבול המבוקש הוא 1.

הפתרונות של @Ben ו- @Gilad מעולים! אוסיף גרסה נוספת של הוכחה בעזרת משפט שטולץ.
משפט שטולץ, שנקרא גם משפט שטולץ-צזארו, הוא משפט המקשר בין גבולות של סדרות לסכומים של טורים.
תהא \left\{x_n\right\}_{n=1}^{\infty} סדרה כלשהי, ותהא \left\{y_n\right\}_{n=1}^{\infty} סדרה מונוטונית עולה ממש השואפת לאינסוף.
אם הסדרה \textstyle \left\{\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}\right\}_{n=1}^{\infty} מתכנסת במובן הרחב, כלומר קיים הגבול L = \lim_{n \to \infty}\textstyle \frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n} אז גם הסדרה \textstyle \left\{ \frac{x_n}{y_n}\right\}_{n=1}^{\infty} מתכנסת לאותו הגבול.

נגדיר:

\frac{1}{n}\ln\left(\frac{n^n}{n!}\right)=\ln\left(\frac{n}{(n!)^{\frac{1}{n}}}\right)=\frac1n\ln\left(\frac{n^n}{n!}\right)=\frac{a_n}n

לכן נקבל:

\frac{a_{n+1}-a_n}{n+1-n}=\ln\left(\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}\right)-\ln\left(\frac{n^n}{n!}\right)=\ln\left(1+\frac1n\right)^n\to 1