שלום לכולם, אני מתקשה לחשב את הגבול הבא:
אף פעם לא יצא לי לחשב גבול עם עצרת. ניסיתי לפתור במספר דרכים אבל שום דרך לא הובילה לתשובה. אשמח להכוונה כיצד לחשב את הגבול הנ"ל.
תודה רבה.
שלום לכולם, אני מתקשה לחשב את הגבול הבא:
אף פעם לא יצא לי לחשב גבול עם עצרת. ניסיתי לפתור במספר דרכים אבל שום דרך לא הובילה לתשובה. אשמח להכוונה כיצד לחשב את הגבול הנ"ל.
תודה רבה.
נגדיר a_n=\left(\frac{n^n}{n!}\right)^{1/n}. נוכיח כי הגבול של a_n הוא e.
נעלה בחזקה ונקבל (a_n)^n=\left(\frac{n^n}{n!}\right). לפיכך, נוכל להסיק כי מתקיים:
כמו כן, מתקיים:
לפיכך, נוכל להסיק כי מתקיים:
כמו כן, לכל n טבעי מתקיים:
לפיכך נובע:
כלומר הגבול המבוקש הוא 1.
בהצלחה
בפתרון נשתמש בנוסחת סטירלינג. זהו קירוב מתמטי לערך של n! עבור ערכים גדולים של n. ע"פ נוסחה זו מתקבלת הזהות:
ע"פ תכונות של הלוגריתם נקבל:
כעת, נשתמש במסקנה של נוסחת סטירלינג ונקבל:
לכן הגבול המבוקש הוא 1.
הפתרונות של @Ben ו- @Gilad מעולים! אוסיף גרסה נוספת של הוכחה בעזרת משפט שטולץ.
משפט שטולץ, שנקרא גם משפט שטולץ-צזארו, הוא משפט המקשר בין גבולות של סדרות לסכומים של טורים.
תהא \left\{x_n\right\}_{n=1}^{\infty} סדרה כלשהי, ותהא \left\{y_n\right\}_{n=1}^{\infty} סדרה מונוטונית עולה ממש השואפת לאינסוף.
אם הסדרה \textstyle \left\{\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}\right\}_{n=1}^{\infty} מתכנסת במובן הרחב, כלומר קיים הגבול L = \lim_{n \to \infty}\textstyle \frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n} אז גם הסדרה \textstyle \left\{ \frac{x_n}{y_n}\right\}_{n=1}^{\infty} מתכנסת לאותו הגבול.
נגדיר:
לכן נקבל: