נגדיר a_n=\left(\frac{n^n}{n!}\right)^{1/n}. נוכיח כי הגבול של a_n הוא e.
נעלה בחזקה ונקבל (a_n)^n=\left(\frac{n^n}{n!}\right). לפיכך, נוכל להסיק כי מתקיים:
(a_n)^{n+1}=\frac{\left ( n+1 \right )^\left ( n+1 \right )}{(n+1)!}
כמו כן, מתקיים:
a_n=\frac{(a_n)^{n+1}}{(a_n)^{n}}=\frac{\frac{\left ( n+1 \right )^\left ( n+1 \right )}{(n+1)!}}{\frac{n^n}{n!}}=\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^{n}
לפיכך, נוכל להסיק כי מתקיים:
\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^{n}=e
כמו כן, לכל n טבעי מתקיים:
\frac{1}{n}\ln\left(\frac{n^n}{n!}\right)=\ln\left(\frac{n}{(n!)^{\frac{1}{n}}}\right)
לפיכך נובע:
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\ln\left(\frac{n^n}{n!}\right)=\lim_{n\to\infty}\ln\left(\frac{n}{(n!)^{\frac{1}{n}}}\right)=\ln(e)=1
כלומר הגבול המבוקש הוא 1.
בהצלחה 