חישוב שדה חשמלי של כדור טעון בעזרת חוק גאוס

מטען נקודתי q נמצא בראשית הצירים כבציור. מימנו במרחק 2R, נמצא כדור טעון ברדיוס R הטעון בצפיפות מטען התלויה במרחק ממרכז הכדור \rho(r)=\frac{Qr}{R^{4}}. משמאלו במרחק R לאורך אותו ציר נמצא מטען נקודתי במטען 2q. מה צריך להיות המטען Q על מנת שהמטען בראשית הצירים יישאר במקומו במנוחה?

שרטוט המערכת:

44

קצת נתקלתי עם השאלה. לא מצליח להבין כיצד עלי להשתמש בחוק גאוס כדי לפתור את השאלה.
אשמח להכוונה.

נחשב את השדה על המטען בראשית מעיקרון הסופרפוזיציה, ונדרוש שזה יתאפס. הכוח שהמטען השמאלי מפעיל על המטען בראשית הצירים הינו:

\vec{F}_{q}=k\frac{q\cdot(2q)}{R^{2}}\hat{x}=\frac{2kq^{2}}{R^{2}}\hat{x}

את השדה שיוצר הכדור הטעון נחשב לפי חוק גאוס. היות וסביב מרכז הכדור יש סימטריה כדורית, נעטוף אותו במעטפת גאוסית ספרית ברדיוס 2R ואז מצד שמאל של חוק גאוס נקבל:

\int_{S}\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{s}=E(r)\cdot4\pi(2R)^{2}=16\pi R^{2}E(r)

מצד שני, נוכל להסיק כי מתקיים:

\begin{align*} Q_{in}&=\int\int\int\rho(v)dv=\int_{r=0}^{R}\int_{\varphi=0}^{2\pi}\int_{\theta=0}^{\pi}\frac{Qr}{R^{4}}dr(d\theta\cdot r)(d\varphi\cdot r\sin\theta)\\&=\frac{Q}{R^{4}}\int_{r=0}^{R}r^{3}dr\int_{\varphi=0}^{2\pi}d\varphi\int_{\theta=0}^{\pi}\sin\theta d\theta\\&=\frac{Q}{R^{4}}\cdot\frac{R^{4}}{4}\cdot2\pi\cdot2=Q\pi \end{align*}

סה"כ ע"פ חוק גאוס נקבל:

\int_{S}\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{s}=\frac{Q_{in}}{\epsilon_{0}}\Leftrightarrow16\pi R^{2}E(r)=\frac{Q\pi}{\epsilon_{0}}\Leftrightarrow E(r)=\frac{Q}{16R^{2}\epsilon_{0}}

כלומר מתקיים:

\vec{E}_{ball}=-\frac{Q}{16R^{2}\epsilon_{0}}\hat{x}

ע"פ עקרון הסופרפוזיציה מתקיים:

F_{total}=\frac{2kq^{2}}{R^{2}}-\frac{Q}{16R^{2}\epsilon_{0}}

נרצה שהמטען ישאר במקום ולכן נקבל:

\begin{align*} F_{total}=0&\Leftrightarrow\frac{2kq^{2}}{R^{2}}-q\frac{Q}{16R^{2}\epsilon_{0}}=0\Leftrightarrow32kq^{2}\epsilon_{0}-qQ=0\\&\Leftrightarrow Q=32kq\epsilon_{0}\Leftrightarrow Q=32\cdot\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}q\epsilon_{0}\Leftrightarrow Q=\frac{8}{\pi}q \end{align*}