חישוב שדה חשמלי של כדור טעון בעזרת חוק גאוס

[Ben]

מטען נקודתי q נמצא בראשית הצירים כבציור. מימנו במרחק 2R, נמצא כדור טעון ברדיוס R הטעון בצפיפות מטען התלויה במרחק ממרכז הכדור \rho(r)=\frac{Qr}{R^{4}}. משמאלו במרחק R לאורך אותו ציר נמצא מטען נקודתי במטען 2q. מה צריך להיות המטען Q על מנת שהמטען בראשית הצירים יישאר במקומו במנוחה?

שרטוט המערכת:

קצת נתקלתי עם השאלה. לא מצליח להבין כיצד עלי להשתמש בחוק גאוס כדי לפתור את השאלה.
אשמח להכוונה.

[Gilad]

נחשב את השדה על המטען בראשית מעיקרון הסופרפוזיציה, ונדרוש שזה יתאפס. הכוח שהמטען השמאלי מפעיל על המטען בראשית הצירים הינו:

\vec{F}_{q}=k\frac{q\cdot(2q)}{R^{2}}\hat{x}=\frac{2kq^{2}}{R^{2}}\hat{x}

את השדה שיוצר הכדור הטעון נחשב לפי חוק גאוס. היות וסביב מרכז הכדור יש סימטריה כדורית, נעטוף אותו במעטפת גאוסית ספרית ברדיוס 2R ואז מצד שמאל של חוק גאוס נקבל:

\int_{S}\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{s}=E(r)\cdot4\pi(2R)^{2}=16\pi R^{2}E(r)

מצד שני, נוכל להסיק כי מתקיים:

\begin{align*} Q_{in}&=\int\int\int\rho(v)dv=\int_{r=0}^{R}\int_{\varphi=0}^{2\pi}\int_{\theta=0}^{\pi}\frac{Qr}{R^{4}}dr(d\theta\cdot r)(d\varphi\cdot r\sin\theta)\\&=\frac{Q}{R^{4}}\int_{r=0}^{R}r^{3}dr\int_{\varphi=0}^{2\pi}d\varphi\int_{\theta=0}^{\pi}\sin\theta d\theta\\&=\frac{Q}{R^{4}}\cdot\frac{R^{4}}{4}\cdot2\pi\cdot2=Q\pi \end{align*}

סה"כ ע"פ חוק גאוס נקבל:

\int_{S}\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{s}=\frac{Q_{in}}{\epsilon_{0}}\Leftrightarrow16\pi R^{2}E(r)=\frac{Q\pi}{\epsilon_{0}}\Leftrightarrow E(r)=\frac{Q}{16R^{2}\epsilon_{0}}

כלומר מתקיים:

\vec{E}_{ball}=-\frac{Q}{16R^{2}\epsilon_{0}}\hat{x}

ע"פ עקרון הסופרפוזיציה מתקיים:

F_{total}=\frac{2kq^{2}}{R^{2}}-\frac{Q}{16R^{2}\epsilon_{0}}

נרצה שהמטען ישאר במקום ולכן נקבל:

\begin{align*} F_{total}=0&\Leftrightarrow\frac{2kq^{2}}{R^{2}}-q\frac{Q}{16R^{2}\epsilon_{0}}=0\Leftrightarrow32kq^{2}\epsilon_{0}-qQ=0\\&\Leftrightarrow Q=32kq\epsilon_{0}\Leftrightarrow Q=32\cdot\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}q\epsilon_{0}\Leftrightarrow Q=\frac{8}{\pi}q \end{align*}