חישוב פוטנציאלים בקליפה כדורית דקה טעונה

תחומי המדעים
1

נתונות שלוש קליפות כדוריות דקות קונצנטריות כפי שמוצג באיור. הקליפה הפנימית בעלת רדיוס R מוליכה ומוארקת. הקליפה האמצעית ברדיוס 2R מבודדת וטעונה במטען כולל Q. הקליפה החיצונית ברדיוס 3R מוליכה ומוארקת.
מצאו את המטען על הקליפה הפנימית Q_{1} והקליפה החיצונית Q_{3}.
שרטוט המערכת:

50

כיצד אני צריך להתייחס לכך שההארקה על הקליפה החיצונית?

2

נתון כי הקליפה הפנימית בעלת רדיוס R מוליכה ומוארקת. לכן הפוטנציאל הכולל הוא אפס. לכן ע"פ סופרפוזיציה של פוטנציאלים נובע כי הפוטנציאל הכולל מורכב באופן הבא:

\varphi(R)=\frac{kQ_{1}}{R}+\frac{kQ}{2R}+\frac{kQ_{3}}{3R}

הפוטנציאל הכולל הוא אפס ולכן \varphi(R)=0. כמו כן, נתון כי הקליפה החיצונית ברדיוס 3R מוליכה ומוארקת. לכן ע"פ סופרפוזיציה של פוטנציאלים נובע כי הפוטנציאל הכולל מורכב באופן הבא:

\varphi(3R)=\frac{kQ_{1}}{3R}+\frac{kQ}{3R}+\frac{kQ_{3}}{3R}

הפוטנציאל הכולל הוא אפס ולכן \varphi(3R)=0. קיבלנו את מערכת המשוואות הבאה:

\begin{cases} \frac{kQ_{1}}{R}+\frac{kQ}{2R}+\frac{kQ_{3}}{3R}=0\\ \frac{kQ_{1}}{3R}+\frac{kQ}{3R}+\frac{kQ_{3}}{3R}=0 \end{cases}\Rightarrow\begin{cases} Q_{1}+\frac{Q}{2}+\frac{Q_{3}}{3}=0\\ Q_{1}+Q+Q_{3}=0 \end{cases}

נחסר משוואה ראשונה ממשוואה שנייה כך שנקבל:

\frac{Q}{2}+\frac{2Q_{3}}{3}=0\Rightarrow Q_{3}=-\frac{3}{4}Q

נמצא את המטען Q_{1}:

Q_{1}=-\frac{Q}{2}-\frac{Q_{3}}{3}=-\frac{Q}{2}+\frac{Q}{4}=-\frac{1}{4}Q