היעזרו בטור מקלורן מסדר מתאים על מנת להוכיח כי לכל x\in(0,1) מתקיים:
\sin(x)>\ln(1+x)
אני מניח שצריך לפרק את פונקציית הסינוס ואת פונקציית הלגוריתם לטור מקלורן אבל אני לא מצליח להראות את האי-שוויון.
אשמח להכוונה!
פיתוח של פונקציית סינוס:
\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\ldots+\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}+\ldots=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}
נשתמש בפיתוח מקלורן מסדר שני כאשר השארית היא בצורת לגראנז’, כך שנקבל:
\sin x=x+P_2(x)=x-\frac{x^3\cos(t_1)}{6}
כאשר 0<t_1<x. פיתוח של פונקציה לגוריתמית:
\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\ldots+\frac{(-1)^{n+1}}{n}x^n+\ldots=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}x^n
שוב נשתמש בפיתוח מקלורן מסדר שני כאשר השארית היא בצורת לגראנז’, כך שנקבל:
ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+M_2(x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3(t_2+1)^3}
כאשר 0<t_2<x. אם 0<x<1 אז בפרט t_1,t_2>0. לכן נקבל (נשתמש בכך שלכל x ממשי מתקיים \cos(x)\leq 1):
\begin{align*}
\sin(x)-\ln(1+x)&=\left(x-\frac{x^3\cos(t_1)}{6}\right)-\left(x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3(t_2+1)^3}\right)\\
&>\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{6}-\frac{x^3}{3}=\frac{x^2}{2}(1-x)
\end{align*}
נעביר אגפים ונקבל את הזהות \sin(x)>\ln(1+x) לכל 0<x<1, כנדרש.