הבעת אורך קטע והיקף משולש בתוך מלבן בעזרת פרמטרים

מתמטיקה
1

אלכסוני המלבן MNPQ נחתכים בנקודה O. מנקודה O מעלים אנך ל-QN החותך את QP בנקודה K (ראה ציור).
נתון NP=a וגם \angle MOQ=2\beta.
א. הבע את אורך הקטע OK באמצעות \beta ו-a.
ב. הבע את היקף המשולש \triangle NOK באמצעות \beta ו-a.
שרטוט:

image

מרגיש כיאלו אין מספיק נתונים כדי להביע את הקטע OK בעזרת הפרמטרים. איך אמורים לעשות את זה?
אשמח להכוונה, תודה רבה.

2

במלבן האלכסונים חוצים זה את זה ושווים זה לזה. לכן מתקיים:

PO = QO = MO = NO

מנקודה O יוצא אנך ל-QN החותך את QP ולכן הזווית \angle QOK ישרה. נתבונן על המשולש MOQ. נתון לנו כי הזווית MOQ שווה ל-2\beta. נוריד גובה מהקדוקוד O לבסיס MQ ונקרא לנקודה S. משולש MOQ הוא משולש שווה שוקיים. במשולש שווה שוקיים הגובה לבסיס מתלכד עם התיכון וחוצה זווית הראש. לכן MS=SQ=0.5a וגם \angle MOS=\angle QOS =\beta. משולש OSQ הוא משולש ישר זווית ולכן נשתמש בטריגונומטריה במשולש זה כדי לחשב את אורך הצלע QO:

QO=\frac{SQ}{\sin\angle QOS}=\frac{a}{2\sin\beta}

סכום הזוויות במשולש שווה ל-180 מעלות ולכן נוכל להסיק כי \angle SQO=90-\beta. כמו כן, הזוויות במלבן הן ישרות ולכן \angle OQP=\beta. המשולש QOK הוא כאמור משולש ישר זווית ולכן נוכל לחשב את אורך הקטע OK:

OK=QO\tan\angle OQK=\frac{a}{2\sin\beta}\tan\beta=\frac{a}{2\cos\beta}