מציאת משוואת האלכסון במעוין ושאר הקודקודים

מתמטיקה
1

במעוין ABCD שיעור אחת הנקודות הוא (0,6). ידוע כי משוואת האלכסון AC היא y=-1.5x+6 ואחת ממשוואות הצלעות היא 5y+x=4.
א. מצאו את משוואת האלכסון השני.
ב. מצאו את שאר קודקודי המעוין.

לא הצלחתי לפתור את השאלה.
אני עשיתי הצלבה של המשוואות קיבלתי נקודה אבל אני לא מצליח להמשיך מכאן.

2

נתון כי מעוין ABCD בו שיעור אחת הנקודות הוא (0,6) וכי משוואת האלכסון AC היא y=-1.5x+6. נציב x=0 במשוואת האלכסון AC ונקבל y=6 משמע (0,6) היא הנקודה A או הנקודה C.
מטעמי נוחות, נסדר את המשוואה 5y+x=4 כך שנקבל y=-\frac{1}{5}x+\frac{4}{5}. נמצא את נקודת החיתוך של שתי המשוואות:

\begin{cases} y=-1.5x+6\\ y=-\frac{1}{5}x+\frac{4}{5} \end{cases}\Rightarrow x=4,\,y=0

הנקודה הנ"ל שונה מהנקודה (0,6) ולכן אם A(0,6) אז C(4,0) ואם A(4,0) אז C(0,6). נניח בלי הגבלת הכלליות כי A(0,6) אז C(4,0). זה לא משנה איך הנקודות מסודורות שכן התוצאה זהה. במעוין האלכסונים חוצים זה את זה ולכן נמצא את נקודת האמצע (נסמנה ב-O) של האלכסון AC:

\begin{cases} x_{O}=\frac{x_{A}+x_{C}}{2}=\frac{0+4}{2}=2\\ y_{O}=\frac{y_{A}+y_{C}}{2}=\frac{6+0}{2}=3 \end{cases}\Rightarrow O(2,3)

כמו כן, האלכסונים במעויין מאונכים זה לזה ולכן האלכסון AC מאונך לאלכסון BD. לפיכך נובע כי מתקיים m_{AC}\cdot m_{BD}=-1. ע"פ y=-1.5x+6 נובע כי שיפוע הישר AC הוא m_{AC}=-1.5 ולכן נקבל:

m_{BD}=\frac{-1}{-m_{AC}}=\frac{-1}{-1.5}=\frac{2}{3}

לכן משוואת הישר BD הינה:

y-3=\frac{2}{3}(x-2)\Rightarrow y=\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}

נותר למצוא את שתי הנקודות האחרות B ו-D של המעוין ABCD. אנחנו יודעים שאחת הנקודות היא נקודת חיתוך של הישר BD שזה עתה קיבלנו והישר y=-\frac{1}{5}x+\frac{4}{5}. לכן נקבל:

\begin{cases} y=\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}\\ y=-\frac{1}{5}x+\frac{4}{5} \end{cases}\Rightarrow x=-1,\,y=1

הנקודה (-1,1) יכולה להיות B או D. נניח בלי הגבלת הכלליות כי זאת הנקודה D ונמצא את הנקודה B. כאמור האלכסונים במעוין חוצים זה את זה ולכן הנקודה O היא נקודת האמצע של הישר BD ולכן נקבל:

\begin{cases} x_{O}=\frac{x_{B}+x_{D}}{2}\\ y_{O}=\frac{y_{B}+y_{D}}{2} \end{cases}\Rightarrow\begin{cases} 2=\frac{x_{B}+-1}{2}\\ 3=\frac{y_{B}+1}{2} \end{cases}\Rightarrow O(5,5)

מקווה שמובן, בהצלחה :slight_smile: