הוכח או הפרך את הטענות הבאות:
א. אם למערכת של m משוואות עם n משתנים מתקיים ש-n>m אז לא ייתכן מצב של פתרון יחיד.
ב. אם למערכת של m משוואות עם n משתנים מתקיים ש-m>n אז לא ייתכן מצב של פתרון יחיד.
ג. אם למערכת של m משוואות עם n משתנים מתקיים ש-n>m אז למערכת יש אינסוף פתרונות.
אשמח להסבר אם אני בכיוון של ההסברים.
א. המשפט נכון מכיוון שאם יש לנו משתנים יותר ממשוואות, זה אומר שיש לנו לפחות משתנה אחד יותר, מה שאומר שיש משתנה חופשי לפחות אחד מה שיתן לנו אינסוף פתרונות למערכת.
ב. המשפט לא נכון מכיוון שיש לנו לפחות משוואה אחת יותר ממשתנה מה שאומר שתיהיה לנו בהכרח שורת אפסים מה שיתן לנו אין סוף פתרונות או אין פתרון למערכת.
ההסבר שלך אולי נכון אבל אילו אינן הוכחות או ההפרכות. אם הטענה נכונה אתה צריך להוכיח אותה. אם הטענה אינה נכונה, אתה צריך להפריך.
א. הטענה נכונה ולכן נוכיח אותה. לשם כך נשתמש במשפט הבא בהוכחה:
אם למערכת Ax=b בעלת m משוואות, n נעלמים ודרגה r יש פתרון אזי הפתרון הכללי של המערכת מכיל n-r נעלמים.
לכל וקטור b ב-\mathbb{F}^n ישנן שתי אפשרויות: למערכת Ax=b יש פתרון או אין פתרון. אם למערכת Ax=b אין פתרון אז סיימנו. אחרת, נוכיח כי אם למערכת Ax=b יש פתרון אזי בהכרח יש אינסוף פתרונות. ע"פ המשפט נובע כי הפתרון הכללי מכיל n-r נעלמים כאשר r היא הדרגה של A. אבל הדרגה של A קטנה מ-m ו-n ולכן נקבל:
n - r \geq n - m > 0
זה אומר שהפתרון הכללי מכיל לפחות נעלם אחד ולכן יש אינסוף פתרונות.
ב. הטענה לא נכונה. לכן צריך להפריך אותה עם דוגמה נגדית. נגדיר את מערכת המשוואות הבאה:
\cases{x=1\\2x=2}
כאשר m=2>n=1. למערכת זו יש פתרון יחיד x=1, למרות שמתקיים m>n ולכן הטענה אינה נכונה.
ג. הטענה אינה נכונה. שוב, צריך להפריך אותה עם דוגמה נגדית. נגדיר את מערכת המשוואות הבאה:
\cases{x+y+z=0\\x+y+z=1}
כאשר m=2<n=3. למערכת משוואות זו, אין פתרון, למרות שמתקיים n>m.
