פתרון יחיד, אינסוף פתרונות או אין פתרון עבור משוואות ומשתנים

מתמטיקה
2

ההסבר שלך אולי נכון אבל אילו אינן הוכחות או ההפרכות. אם הטענה נכונה אתה צריך להוכיח אותה. אם הטענה אינה נכונה, אתה צריך להפריך.

א. הטענה נכונה ולכן נוכיח אותה. לשם כך נשתמש במשפט הבא בהוכחה:

אם למערכת Ax=b בעלת m משוואות, n נעלמים ודרגה r יש פתרון אזי הפתרון הכללי של המערכת מכיל n-r נעלמים.

לכל וקטור b ב-\mathbb{F}^n ישנן שתי אפשרויות: למערכת Ax=b יש פתרון או אין פתרון. אם למערכת Ax=b אין פתרון אז סיימנו. אחרת, נוכיח כי אם למערכת Ax=b יש פתרון אזי בהכרח יש אינסוף פתרונות. ע"פ המשפט נובע כי הפתרון הכללי מכיל n-r נעלמים כאשר r היא הדרגה של A. אבל הדרגה של A קטנה מ-m ו-n ולכן נקבל:

n - r \geq n - m > 0

זה אומר שהפתרון הכללי מכיל לפחות נעלם אחד ולכן יש אינסוף פתרונות.

ב. הטענה לא נכונה. לכן צריך להפריך אותה עם דוגמה נגדית. נגדיר את מערכת המשוואות הבאה:

\cases{x=1\\2x=2}

כאשר m=2>n=1. למערכת זו יש פתרון יחיד x=1, למרות שמתקיים m>n ולכן הטענה אינה נכונה.

ג. הטענה אינה נכונה. שוב, צריך להפריך אותה עם דוגמה נגדית. נגדיר את מערכת המשוואות הבאה:

\cases{x+y+z=0\\x+y+z=1}

כאשר m=2<n=3. למערכת משוואות זו, אין פתרון, למרות שמתקיים n>m.