מציאת שקול הכוחות (גודל וכיוון) בעזרת וקטורים

תחומי המדעים
1

מצאו את השקול (גודל וכיוון) של הווקטורים הנתונים:

\vec{A}=15,37^{\circ},\,\vec{B}=5,162^{\circ},\,\vec{C}=10,320^{\circ}

תשובות סופיות: \theta=15.557^{\circ} ו-R=15.45.
אשמח בבקשה לדרך פתרון עם שלבים ברורים (הצלחתי לשרטט לפי הציר שזה לא בעיה אבל אני לא יודע איך מתקדמים משם).

2

ווקטור הכוח יכול לפעול על מרכז הכובד של גוף בכל כיוון אפשרי. כדי לציין את כיוון פעולת ווקטור הכוח נמדוד את הזווית שיוצר קו-הפעולה של הווקטור, עם קו האופק. את אורכו של הווקטור נסמן באות R ואת הזווית נסמן באות \theta. הצגת ערך הווקטור בעזרת ציון עוצמתו וזווית כיוון פעולתו היא הצגה קוטבית של הווקטור. למשל הכוח בכיוון \vec{A} הוא בעל עוצמה 15 יחידות כוח, הפועל בזווית של 37 מעלות ביחס לקו האופק ייוצג בצורה קוטבית.

כדי שניתן יהיה לנתח בקלות את השפעת פעולת הווקטור על גוף נוח יותר להשתמש בהצגה קרטזית של ווקטור הכוח. בהצגה קרטזית מוצג הכוח לפי מרכיביו בכיוון כל ציר של מערכת הצירים הקרטזית. במערכת צירים דו-מימדית של x ו-y מרכיביו של הווקטור בכיוון הצירים הוא היטל הווקטור על כל ציר בנפרד.

ע"פ נתוני השאלה הזווית בין הציר האופקי לווקטור \vec{A} שווה ל-37 מעלות. כמו כן, הזווית בין הציר האופקי לווקטור \vec{B} שווה ל-180-162=18 מעלות. בנוסף לכך, הזווית בין הציר האופקי לווקטור \vec{C} שווה ל-360-320=40 מעלות.
נפרק לרכיבים לפי הצירים:

\begin{align*} R_x&=15\cos(37)-5\cos(18)+10\cos(40)\approx14.8847\\ R_y&=15\cos(90-37)+5\cos(90-18)-10\cos(90-40)\approx4.144434\\ \end{align*}

סה"כ נקבל ע"פ משפט פיתגורס:

|\vec{R}|=\sqrt{R_x^2+R_y^2}=\sqrt{14.8847^2+4.144434^2}\approx15.45

כמו כן, נחשב את הזווית:

\tan\theta=\frac{R_y}{R_x}\Leftrightarrow tan\theta=\frac{4.144434}{14.8847}\Leftrightarrow \theta\approx15.557^{\circ}

מקווה שמובן, בהצלחה.