חקירת פונקציה לינארית עם פרמטרים ומציאת נקודות קיצון

[9090]

נתונה הפונקציה f(x)=Ax^4-4x+B. המשיק לגרף הפונקציה בנקודה x=1 מקביל לציר ה-x.
א. מצאו את A.
ב. מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגה (הבע באמצעות B).
ג. שרטט, באותה מערכת צירים, סקיצה של גרף הפונקציה:

• כאשר B=0.
• כאשר B=2.

ד. לכל אחת מן הפונקציות שהתקבלו, מעבירים משיק בנקודת המינימום. מהו המרחק בין שני המשיקים?

אשמח לעזרה עם השאלה הנ"ל.

[Gilad]

הפורום כמובן לא נועד לפתור לך את שיעורי הבית, אלא לכוון אותך אל הפתרון. מאחר ולא הסברת איפה נתקעת, אני אניח שנתקעת בסעיף א’.

נתונה הפונקציה f(x)=Ax^4-4x+B. כמו כן, נתון כי המשיק לגרף הפונקציה בנקודה x=1 מקביל לציר ה-x. כאשר נתונה פונקציה, וצריך למצוא משיק לפונקציה בנקודה בעלת שיעור $x4 ידוע, אז כדי למצוא את משוואת המשיק, יש למצוא את שיפוע המשיק ואז להשתמש בנקודת ההשקה כדי לבנות את משוואת הישר (שהיא משוואת המשיק). את שיפוע המשיק מוצאים ע"י גזירת הפונקציה והצבת ערך ה-x של נקודת ההשקה בנגזרת.

לכן, כך נעשה. נמצא את שיפוע המשיק לגרף הפונקציה הנתונה עבור x=1. נגזור את הפונקציה הנתונה, כך שנקבל:

f'(x)=4Ax^3-4

נציב x=1 כדי למצוא את השיפוע:

m=f'(1)=4\cdot A\cdot 1^3-4=4A-4

כמו כן, נתון כי המשיק מקביל לציר ה-x, והרי שיפועו של ציר ה-x הוא אפס. בנוסף לכך, לישרים מקבילים יש את אותו השיפוע ולכן שיפוע המשיק חייב להיות אפס. לכן נקבל:

4A-4=0\Rightarrow A=1

מקווה שמובן, בהצלחה