שלום,
האם זה נכון להגיד שלכל n טבעי (שונה מ-0) האיבר מהצורה \frac{2^{n}}{2} שייך לקבוצה \mathbb{N}?
תודה רבה.
הטענה די טריוואלית שכן מחוקי חזקות מתקיים \frac{2^n}{2}=2^{n-1} ולכן מאחר וחזקה טבעית של טבעי היא מספר טבעי נובע כי המספר המבוקש הוא מספר טבעי. אם אינך יכול להשתמש בטענה הנ"ל, אתה יכול להוציא תותחים כבדים יותר כמו אינדוקציה ולהוכיח כי לכל n\in\mathbb{N} מתקיים \frac{2^n}{2}\in\mathbb{N}. לשם כך, נשתמש במהלך ההוכחה בטענה הבאה: לכל a,b\in\mathbb{N} מתקיים a\cdot b\in\mathbb{N}. במידה ואינך יכול להשתמש בטענה הנ"ל מכל סיבה שהיא, תצטרך להוכיח אותה (גם די פשוט).
נוכיח את הטענה המרכזית באינדוקציה:
בסיס האינדוקציה: עבור n=1 מתקיים 2^1=2\in \mathbb{N}.
הנחת האינדוקציה: נניח את נכונות הטענה עבור n=k, כלומר נניח כי מתקיים \frac{2^k}{2}\in\mathbb{N}.
צעד האינדוקציה: נוכיח את נכונות הטענה עבור n=k+1, כלומר נניח כי מתקיים \frac{2^{k+1}}{2}\in\mathbb{N}. מחוקי חזקות מתקיים:
\frac{2^{k+1}}{2}=\frac{2^k\cdot 2}{2}
ניתן להשתמש בהנחת האינדוקציה ולהגיד כי \frac{2^k}{2}\in\mathbb{N} ו-2 הם מספרים טבעיים ולכן המכפלה שלהם היא מספר טבעי. קיבלנו כי \frac{2^{k+1}}{2} הוא מספר טבעי ולכן סיימנו את ההוכחה.
מקווה שמובן, בהצלחה.