מציאת שיעורי נקודת ההשקה ואת משוואת המשיק

מתמטיקה
1

שלום לכולם,
נתונה הפונקציה הבאה:

f(x)=\frac{5}{(2x-1)^2}

בתחום x<0.5. מעבירים משיק לגרף הפונקציה בתחום הנתון המקביל לישר 4y=10x+15.
מצאו את שיעורי נקודת ההשקה ואת משוואת המשיק.
אני לא מצליח לפתור את הסעיף הזה.
אשמח לעזרה איתו.
תודה רבה על כל העזרה.

2

משוואת המשיק היא ישר מהצורה y=mx+n. נרצה למצוא את m ו-n. ידוע כי השיפועים של הישרים המקבילים שווים. מאחר ונתון כי משוואת המשיק מקבילה לישר 4y=10x+15, כלומר לישר y=\frac{5}{2}x+\frac{15}{4} נובע m=\frac{5}{2}.

על מנת למצוא את משוואת המשיק, נגזור את הפונקציה הנתונה, כך שנקבל:

f'(x)=\frac{0-5\cdot2\cdot (2x-1)\cdot 2}{(2x-1)^4}=-\frac{20}{(2x-1)^3}

נרצה למצוא את ה-x עבורו מתקיים f'(x)=m כאשר m הוא השיפוע שמצאנו קודם. לכן נקבל:

f'(x)=m\Leftrightarrow -\frac{20}{(2x-1)^3}=\frac{5}{2}\Leftrightarrow x=-0.5

לכן שיעור ה-y של נקודת ההשקה היא:

f(-0.5)=\frac{5}{(2\cdot (-0.5)-1)^2}=1.25

הנקודה (-0.5,1.25) נמצאת אל משוואת המשיק ולכן נוכל לחשב את n:

1.25=\frac{5}{2}\cdot (-0.5)+n \Rightarrow n=2.5

כלומר משוואת המשיק הינה y=2.5x+2.5 ונקודת ההשקה הינה (-0.5,1.25).
מקווה שמובן, בהצלחה!