להלן השאלה הבאה: בכמה אפשרויות ניתן לסדר 10 מבוגרים ו-60 ילדים (40 בנות ו-20 בנים) בשורה כך שמתקיים:
ללא מגבלות.
קודם (בצד הימני של השורה) עומדים המבוגרים, אחר כך הבנים ובסוף הבנות.
בין כל 2 מבוגרים בשורה יש בדיוק 6 ילדים (ניתן למקם ילדים גם בקצוות השורה).
בין כל 2 מבוגרים בשורה יש בדיוק 2 בנים ו- 4 בנות (ניתן למקם ילדים גם בקצוות השורה).
את שתי הסעיפים הראשונים פתרתי באופן הבא:
ללא מגבלות: מספר המבוגרים הוא 10 ומספר הילדים הוא 60 לכן בסה"כ יש 70 אנשים. לפיכך יש 70! אפשרויות לסדר אותם.
קודם (בצד הימני של השורה) עומדים המבוגרים, אחר כך הבנים ובסוף הבנות: תחילה נמקם את העשרת המבוגרים בצד הימני של השורה. לשם כך יש 10! אפשרויות לעשות זאת. עתה נמקם את 20 הבנים. נעשה זאת ב-20! אפשרויות. לבסוף נמקם את 40 הבנות ב-40! אפשרויות. בסה"כ ע"פ עקרון הכפל נקבל: (10!)\cdot(20!)\cdot(40!).
אשמח לקבל הערות על הפתרון של שני הסעיפים הראשונים. כמו כן, לא הצלחתי לפתור את שני הסעיפים הנותרים ולכן אשמח לעזרה איתם.
תודה רבה.
שני הסעיפים הראושנים שלך נכונים ומפורטים. נפתור את שני הסעיפים הנותרים.
נפתור את הסעיף השלישי:
בין כל 2 מבוגרים בשורה יש בדיוק 6 ילדים (ניתן למקם ילדים גם בקצוות השורה):
תחילה נסדר את הילדים בשורה (יש 60! אפשרויות לעשות זאת). עתה נסדר את המבוגרים ב-10! אפשרויות. נותר להחליט את מיקומו של המבוגר הראשון שכן מיקומו קובע בצורה חד ערכית את מיקומם של שאר המבוגרים. נשים לב כי יש 7 אפשרויות לבחירה של המקום הראשון עבור המבוגר ולכן בסה"כ יש 7\cdot(10!)\cdot(60!) אפשרויות.
נפתור את הסעיף הרביעי:
בין כל 2 מבוגרים בשורה יש בדיוק 2 בנים ו-4 בנות (ניתן למקם ילדים גם בקצוות השורה):
תחילה נסדר את את המבוגרים, הבנות והבנים בשורות נפרדות (ע"פ סעיף ב’ שפתרת יש (10!)\cdot(20!)\cdot(40!) אפשרויות לשם כך).
מאחר ויש 10 מבוגרים ו-60 ילדים, נוכל להסיק כי סכום הילדים בקצוות חייב להיות 6 (2 בנים ו-4 בנות). נתבונן למשל בקצה הימני - כמות הילדים נעה בין 0 (אין כלל ילדים) לבין 6 ילדים, לכן בסה"כ 7 אפשרויות. כמות הילדים באחת הקצוות קובעת את כמות הילדים בקצה השני. נחזור לשורה שבנינו - ניקח את 2 הבנים השמאליים ביותר בשורה ו-4 הבנות השמאליות ביותר בשורה ונשים אותם בקצוות. נשארו לנו 18 בנים ו-36 בנות. נחלק את הבנים לקבוצות בגודל 2 ואת הבנות לקבוצות בגודל 4 כך שכל קבוצה תוכנס למרווח בין שני מבוגרים. כמו כן, נחליט לגבי הסידור בין כל זוג מבוגרים. לשם כך יש {6 \choose 2}^{10} אפשרויות לעשות זאת. בסה"כ נקבל:
