הוכחת אי שוויון עם אינטגרל וקמירות

נתונה f\,:\,[0,2]\to[0,\infty) פונקציה רציפה ואי שלילית, כמו כן נתון כי f קעורה, כלומר לכל שתי נקודות x,y\in[0,2] ו-\lambda\in[0,1] מתקיים:

f(\lambda x+(1-\lambda) y)\geq \lambda f(x)+(1-\lambda)f(y)

נניח גם כי f(1)=1. יש להוכיח כי מתקיים:

\int_0^2f(t)dt\geq 1

שלום לכולם, נתקעתי עם השאלה הנ"ל. לא מצליח לחסום את האינטגרל המבוקש. כיצד עוזר לי הנתון שהפונקציה f קעורה?
תודה רבה.

על מנת לפתור את השאלה, נשתמש בטענת העזר הבאה: אם לכל c\in[a,b] מתקיים f_1(c)\leq f_2(c) אזי \int_a^bf_1(x)dx\leq\int_a^b f_2(x)dx. ההוכחה של טענת העזר אינה מורכבת, במידה ואתה לא יכול להשתמש בה.

נוכיח כי מתקיים \int_0^2f(t)dt\geq 1. יהי t\in[0,1] כלשהו. נשים לב כי קיים \lambda=1-t\in[0,1] כך שמתקיים t=\lambda\cdot0+(1-\lambda)\cdot1. ע"פ תנאי הקעירות נוכל להסיק כי מתקיים:

f(t)=f(\lambda\cdot0+(1-\lambda)\cdot 1)

הפונקציה f היא אי-שלילית ולכן f(0)\geq 0. לפיכך נקבל:

f(t)=f(\lambda\cdot0+(1-\lambda)\cdot 1)\geq \lambda f(0)+(1-\lambda)f(1)\geq (1-\lambda)f(1)=t

לכן, נוכל להסיק כי לכל t\in[0,1] מתקיים f(t)\geq t. לפיכך ע"פ טענת העזר נובע:

\int_0^1f(t)dt\geq \int_0^1tdt=\left[\frac{t^2}{2}\right]_0^1=\frac{1}{2}

יהי t\in[1,2] כלשהו. נשים לב כי קיים \lambda=2-t כך שמתקיים t=\lambda\cdot1+(1-\lambda)\cdot2. ע"פ תנאי הקעירות נוכל להסיק כי מתקיים:

f(t)=f(\lambda\cdot1+(1-\lambda)\cdot 2)

הפונקציה f היא אי-שלילית ולכן f(1)\geq 0. לפיכך נקבל:

f(t)=f(\lambda\cdot1+(1-\lambda)\cdot 2)\geq \lambda f(1)+(1-\lambda)f(2)\geq \lambda f(1)=2-t

לכן, נוכל להסיק כי לכל t\in[1,2] מתקיים f(t)\geq2-t. לפיכך ע"פ טענת העזר נובע:

\int_1^2f(t)dt\geq \int_1^2(2-t)dt=\left[2t-\frac{t^2}{2}\right]_1^2=\frac{1}{2}

סה"כ נקבל:

\int_0^2f(t)dt=\int_0^1f(t)dt+\int_1^2f(t)dt\geq \frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1

כנדרש.