סיווג נקודות אי-רציפות של מנת פולינומים

[Ben]

עבור הפונקציה הבאה, קבעו אם הפונקציה הנדונה רציפה בנקודה x_0 או לא. במקרה של אי-רציפות, סווגו אותה (האם היא סליקה? ממין ראשון? ממין שני?)
הפונקציה:

f(x)=\frac{x-3}{x^2-7x+12}

בנקודה x_0=3.
אני די חדש לנושא של סיווג נקודות אי-רציפות. אני מבין את ההגדרות אבל לא מצליח להבין כיצד עלי לפתור את השאלה. אשמח להכוונה.
תודה רבה.

[Gilad]

המכנה של הביטוי המגדיר את הפונקציה f מתאפס עבור x=3 ולכן הפונקציה f אינה מוגדרת בנקודה זו. אי-לכך, הנקודה x_0=3 היא נקודת אי-רציפות. כדי לסווג את האי-רציפות בנקודה, נפשט את הביטוי לפונקציה. המכנה הוא פולינומים המתאפס ב-x=3 ולכן ניתן להוציא את x-3 מחוץ לסוגריים, כך שנקבל:

x^2-7x+2=(x-3)(x-4)

לכן, לכל x\neq 3 מתקיים:

f(x)=\frac{x-3}{x^2-7x+12}=\frac{x-3}{(x-3)(x-4)}=\frac{1}{x-4}

הפונקציה \frac{1}{x-4} מוגדרת בסביבה של x_0=3 ומתלכדת בסביבה נקודה עם הפונקציה f. לכן מתקיים:

\lim_{x\to 3}f(x)=\lim_{x\to 3}\frac{1}{x-4}=\frac{1}{3-4}=-1

מאחר והפונקציה f היא בעלת גבול ב-x_0=3, הרי כי x_0 היא נקודת אי-רציפות סליקה.
מקווה שמובן, בהצלחה