נתון:
\sin\frac{\alpha}{2}+\cos\frac{\alpha}{2}=a
כאשר \alpha היא זווית חדה. פתור את הסעיפים הבאים:
א. הראה שמתקיים: \sin\alpha=a^2-1
ב. באיזה תחום צריך להימצא a כדי שיהיה פתרון לבעיה?
אשמח לעזרה עם שני הסעיפים האלה.
תודה רבה.
נפתור את הסעיף הראשון. נתונה המשוואה הטריגונומטרית הבאה:
\sin\frac{\alpha}{2}+\cos\frac{\alpha}{2}=a
נעלה בריבוע כך שנקבל:
\left(\sin\frac{\alpha}{2}+\cos\frac{\alpha}{2}\right)^2=a^2
נפתח סוגריים כך שנקבל:
\sin^2\frac{\alpha}{2}+2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}+\cos^2\frac{\alpha}{2}=a^2
נשתמש בשתי זהויות טריגונומטריות. הראשונה שנשתמש היא \sin^2x+\cos^2x=1. השנייה שנשתמש היא \sin 2x=2\sin x\cos x (זווית כפולה). סה"כ נקבל:
1+\sin \alpha=a^2\Rightarrow \sin\alpha=a^2-1
עתה, נפתור את הסעיף השני. פונקציית הסינוס חסומה באופן הבא: -1\leq \sin\alpha \leq 1. נציב את המשוואה שקיבלנו בסעיף הקודם כך שנקבל:
-1\leq a^2-1\leq 1
נוסיף 1 לכל צד של האי-שיוויון, כך שנקבל:
0\leq a^2\leq 2\Rightarrow 0\leq a\leq \sqrt{2}
מקווה שמובן, בהצלחה 