שלום לכולם, די נתקעתי עם ההוכח/הפרך הבא:
אם מטריצה ריבועית A\in M_n(\mathbb{F}) לכסינה אז לכל k\in\mathbb{N}, גם המטריצה A^k לכסינה.
כיצד אני מוכיח את הטענה הנ"ל?
תודה רבה על העזרה.
הטענה נכונה ולכן נוכיח אותה. מטריצה A לכסינה ולכן קיימת מטריצה אלכסונית D ומטריצה הפיכה P כך שמתקיים D=P^{-1}AP. נוכיח באינדוקציה על k\in\mathbb{N} כי מתקיים:
D^k=P^{-1}A^kP
בסיס האינדוקציה: עבור n=1 מתקיים D=P^{-1}AP.
הנחת האינדוקציה: נניח את נכונות הטענה עבור k\in\mathbb{N}, כלומר נניח כי מתקיים:
D^k=P^{-1}A^kP
צעד האינדוקציה: נוכיח את נכונות הטענה עבור k+1, כלומר נוכיח כי מתקיים:
D^{k+1}=P^{-1}A^{k+1}P
נשים לב כי מתקיים:
D^{k+1}=D^k\cdot D=P^{-1}A^kPP^{-1}AP=P^{-1}A^kAP=P^{-1}A^{k+1}P
סיימנו את צעד האינדוקציה. הוכחנו כי לכל k\in\mathbb{N} כי מתקיים: D^k=P^{-1}A^kP. לכן נוכל להסיק כי המטריצה A^k לכסינה לכל k\in\mathbb{N}, כנדרש.