שלום לכולם, אני מנסה לחשב את הגבול הבא:
\lim_{n\to\infty}\frac{\sum_{i=0}^{n}3^i}{\sum_{i=0}^{n}7^i}
אני לא מצליח להבין כיצד לפתור אותו. אשמח להכוונה.
תודה רבה.
תהא a_n סדרה הנדסית עם מנה q. סכום האיברים של הסדרה a_n הוא:
S_n=\frac{a_1\cdot(q^n-1)}{q-1}
נשים לב כי הביטוי במונה ובמכנה הוא סכום של סדרה הנדסית. לכן נוכל להסיק כי מתקיים:
\sum_{i=0}^{n}3^i=\frac{3^{n+1}-1}{2},\,\sum_{i=0}^{n}7^i=\frac{7^{n+1}-1}{2}
לפיכך נקבל:
\begin{align*}
\lim_{n\to\infty}\frac{\sum_{i=0}^{n}3^i}{\sum_{i=0}^{n}7^i}&=\lim_{n\to\infty}\frac{3^{n+1}-1}{7^{n+1}-1}
=\lim_{n\to\infty}\frac{3^{n+1}}{7^{n+1}}\cdot\frac{1-\frac{1}{3^{n+1}}}{1-\frac{1}{7^{n+1}}}\\
&=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{3}{7}\right)^{n+1}\cdot\frac{1-\frac{1}{3^{n+1}}}{1-\frac{1}{7^{n+1}}}=0\cdot\frac{1-0}{1-0}=0
\end{align*}
כלומר הגבול המבוקש הוא אפס.
מקווה שמובן, בהצלחה 