סדרת אתגרים במתמטיקה - אתגר ראשון

אתגר ראשון במתמטיקה של פורום SolX

ברוכים הבאים לאתגר הראשון בסדרת אתגרים במתמטיקה. מאחר וזהו האתגר הראשון, אנו נתחיל עם בעיה יחסית פשוטה. מדובר בבעיה בגיאומטריה, אולם הפתרונות שלה לא חייבים להגיע מתחום זה. למעשה, החוכמה היא למצוא פתרונות לא גיאומטריים לבעיה.

בעיית השבוע: צלע AB הוא קוטר במעגל בעל מרכז O. הנקודות D ו-E נמצאות על המעגל כך שמתקיים DO||EB. הנקודה C היא נקודת חיתוך של המשכי הצלעות AD ו-BE (ראו שרטוט).
הוכיחו כי מתקיים CB=AB.

image

את תשובתכם לשאלה, אתם מוזמנים לפרסם בתגובות של פוסט זה. זכרו שתשובתיכם צריכה להיות מלאה, מפורטת ולהשתמש ב-\LaTeX. ראו מדריך כיצד להשתמש בכלי כאן.
בהצלחה לכולם! :slight_smile:

אציע כאן את הדרך הכי פשוטה והכי פחות יצירתית כדי לפתור את הבעיה. הרעיון הוא להשתמש בקטע אמצעים. הוכחה:

הצלע AB הוא קוטר במעגל בעל מרכז O ולכן מתקיים AO=OB. כמו כן, נתון כי מתקיים DO||EB. מאחר והנקודה C נמצאת בהמשך הצלע BE נובע DO||BC. לפיכך נובע כי הצלע DO הוא קטע אמצעים במשולש ABC. לפיכך נובע CB=2DO. הצלע DO הוא רדיוס במעגל בעל מרכז O ולכן AB=2DO. קיבלנו CB=2DO וגם AB=2DO ולכן CB=AB, כנדרש.

שני רדיוסים במעגל שווים ולכן AO=DO. לפיכך נובע כי המשולש AOD משולש שווה שוקיים. נסמן \angle A=\alpha. מכיוון שמשולש AOD הוא שו"ש אזי נובע \angle ADO=\alpha.
נתון כי DO||EB ומכאן כמובן שגם DO||CB שהרי הנקודה C היא המשך של הישר EB. בין ישרים מקבילים, זוויות מתאימות שוות ולכן \angle C=\angle ADO=\alpha. מכיוון ששתי הזוויות שוות, אזי ניתן לקבוע כי משולש ABC הוא משולש שווה שוקיים ולכן CB=AB.

נוסיף את הבנייה הבאה: נמשיך את הצלע DO ונסיף צלע חדש אשר יוצא מנקודה B. הנקודה S היא נקודת החיתוך של המשך הצלע DO עם הקשת של המעגל והמשך הצלע שיוצא מנקודה B (ראו שרטוט).

image

במעגל הרדיוסים שווים ולכן DO=AO. לכן המשולש ADO הוא משולש שווה שוקיים. במשולש שווה שוקיים, זויוות הבסיס שוות ולכן \angle ADO=\angle A.
כמו כן, הזוויות \angle A ו-\angle S הן זוויות היקפיות במעגל אשר נשענות על אותה הקשת ולכן הן שוות. מטרנזיטיבות נקבל \angle S=\angle ADO. לפיכך נובע AD||SB. הצלע CD הוא המשך של הצלע AD ולכן נקבל CD||SB. בנוסף לכך, ע"פ הנתון מתקיים DO||BC נובע DS||CB. לפיכך נוכל להסיק כי המרובע DCBS הוא מקבילית. במקבילית הצלעות הנגדיות שוות ולכן DS=CB. כמו כן, הצלעות AB ו-DS הם קטרים במעגל ולכן DS=AB. סה"כ מטרנזיטיביות נובע AB=CB, כנדרש.

פתרון יפה! כמו כן, ערכתי בשבילך את השאלה כדי שזה יהיה עם \LaTeX. אתה מוזמן להסתכל בעריכה כדי ללמוד כיצד לעשות זאת :slight_smile:

אציע פתרון בעזרת גיאומטריה אנליטית. נמקם את המעגל כך שמרכזו נמצא בראשית מערכת הצירים והצלע DO נמצאת על הציר האופקי כמתואר בשרטוט הבא:

image

נסמן את רדיוס המעגל ב-R. לכן משוואת המעגל הינה x^2+y^2=R^2. כמו כן, נוכל להסיק כי מתקיים D(-R,0). בנוסף לכך, אורך הצלע AB הוא 2R ולכן עלינו להוכיח כי CB=2R.

נסמן A(x_0,y_0). לכן נקבל B(-x_0,-y_0). לפיכך נוכל להסיק כי משוואת הישר CB הינה y=-y_0. כמו כן, נחשב את השיפוע של הישר AD:

m_{AD}=\frac{y_A-y_D}{x_A-y_D}=\frac{y_0-0}{x_0-R}=\frac{y_0}{x_0-R}

נחשב את משוואת הישר AD (כלומר, AC):

y-0=\frac{y_0}{x_0-R}(x-R)\Rightarrow y=\frac{y_0}{x_0-R}(x-R)

נמצא את נקודת החיתוך של המשוואות AC ו-BC:

\left\{\begin{matrix} y=\frac{y_0}{x_0-R}(x-R) & \\ y=-y_0 & \end{matrix}\right. \Rightarrow -y_0=\frac{y_0}{x_0-R}(x-R)\Rightarrow x_C=2R-x_0

לכן, נוכל להסיק כי מתקיים C(2R-x_0,-y_0).
נחשב את אורך הצלע CB:

CB=\sqrt{(2R-x_0+x_0)^2+(-y_0+y_0)^2}=2R

הראנו כי מתקיים CB=AB=2R, כנדרש.

אציג פתרון בעזרת דמיון משולשים.
הוכחה: בין ישרים מקבילים נמצאות זהות מתאימות שוות. נתון DO||EB ולכן \angle AOD=\angle ABC. כמו כן מתקיים \angle A=\angle A. לכן ע"פ ז.ז נקבל כי המשולש AOD דומה למשולש ABC. לכן מתקיים:

\frac{DO}{CB}=\frac{AO}{AB}

במעגל, הרדיוסים שווים ולכן DO=AO. לפיכך נובע CB=AB, כנדרש.

מוסיף פתרון משלי כדי להעיר כאן קצת את העניינים. הפתרון הוא גם בעזרת גיאומטריה (משפט תלס). עם זאת, אני מצליח לראות עוד שלוש פתרונות אפשריים לפחות לבעיה (לאו דווקא בעזרת גיאומטריה) אז לכו על זה! :slight_smile:

הוכחה: נתון DO||CB ולכן ע"פ הרחבה ראשונה של משפט תלס מתקיים:

\frac{DO}{CB}=\frac{AO}{AB}

רדיוסים במעגל שווים ולכן DO=AO. לכן נקבל:

\frac{AO}{CB}=\frac{AO}{AB}\Rightarrow AB=CB

קיבלנו AB=CB, כנדרש.