שלום לכולם, קצת הסתבכתי בחישוב הגבול הבא:
\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)^n
האם התשובה אמורה להיות אינסוף? אם כן, כיצד להוכיח זאת?
אשמח להכוונה, תודה רבה.
אפשר לסמן n=k^2 ואז לקבל:
\lim_{n \to \infty}(1 + \frac{1}{\sqrt{n}})^n=\lim_{k \to \infty}(1 + \frac{1}{k})^{k^2}=\lim_{k \to \infty}\left((1 + \frac{1}{k})^{k}\right)^k\to e^\infty=\infty
מקווה שמובן 
תודה רבה על העזרה. עכשיו הכל מובן!
אפשר גם להשתמש באי-שוויון ברנולי (1+x)^r\ge 1+rx, כך שנקבל:
\left(1 + \frac{1}{\sqrt{n}}\right)^{\sqrt{n}}\ge1 + \sqrt{n}\frac{1}{\sqrt{n}}=2
ולכן סה"כ נקבל:
\left(1 + \frac{1}{\sqrt{n}}\right)^{{n}}=\left[\left(1 + \frac{1}{\sqrt{n}}\right)^{\sqrt{n}}\right]^{\sqrt{n}}\ge2^{\sqrt{n}}\to \infty
דרך נוספת לפתור את הבעיה היא בעזרת טור טיילור:
\left(1 + \frac{1}{\sqrt{n}}\right)^{n}=e^{n\log \left(1 + \frac{1}{\sqrt{n}}\right)}=e^{n\left(\frac{1}{\sqrt{n}}+O(1/n)\right)}=e^{\left(\sqrt n+O(1)\right)}\sim e^\sqrt n\to \infty
מקווה שמובן, בהצלחה.