שלום לכולם, אני מנסה להוכיח את האי-שוויון הבא (n>1) באינדוקציה:
1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\ldots +\frac{1}{\sqrt{n}}>\sqrt{n}
משום מה אני מסתבך עם צעד האינדוקציה ולא מצליח להבין כיצד להוכיח אותו.
אשמח בבקשה להסבר. תודה רבה!
נוכיח את האי-שוויון באינדוקציה:
בסיס האינדוקציה: עבור n=2 מתקיים:
L=1+\frac{1}{\sqrt{2}}>\sqrt{2}=R
הנחת האינדוקציה: נניח את נכונות הטענה עבור n\geq 2, כלומר נניח כי מתקיים:
1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\ldots +\frac{1}{\sqrt{n}}>\sqrt{n}
צעד האינדוקציה: נוכיח את נכונות הטענה עבור n+1, כלומר נראה כי מתקיים:
1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\ldots +\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}>\sqrt{n+1}
קודם כל, נשים לב כי מתקיים:
\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}<\frac{1}{\sqrt{n+1}}
לכן נקבל:
\sqrt{n+1}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}<\sqrt{n}\iff \frac{n}{\sqrt{n+1}}< \sqrt{n}\iff n<\sqrt{n}\cdot\sqrt{n+1}
ברור כי מתקיים \sqrt{n}\geqslant \sqrt{n} וגם \sqrt{n+1}>\sqrt{n} ולכן האי-שוויון \sqrt{n}\cdot\sqrt{n+1} נכון. לפיכך נובע כי צעד האינדוקציה נכון, כנדרש.