שלום לכולם, אני מנסה לפתור את האינטגרל הבא:
\int \frac{dx}{(1+x)\sqrt{x}}
ניסיתי להציב את כל ההצבות הטריגונומטריות ולא עבד לי, לא יודע מה עוד לנסות.
אשמח לעזרה!
תודה רבה על כל עזרה.
נפתור את האינטגרל המבוקש. לשם כך, נשתמש באינטגרציה בחלקים. נסמן t=\sqrt{x}. לכן נקבל x=t^2 וגם dt=\frac{1}{2\sqrt{x}}dx=\frac{1}{2t}dx. סה"כ נקבל:
\int \frac{dx}{(1+x)\sqrt{x}}=\int\frac{2t}{(1+t^2)t}dt=2\cdot\int\frac{1}{1+t^2}dt
נשתמש בזהות \int \frac{dx}{1+x^2}=\tan^{-1}(x)+C, כך שנקבל:
\int\frac{1}{1+t^2}dt=\tan^{-1}(t)+C
נציב את t ונקבל:
\int \frac{dx}{(1+x)\sqrt{x}}=2\tan^{-1}(\sqrt{x})+C
מקווה שמובן, בהצלחה!
\int\frac{1}{1+t^2}dt
ברח לך פה ה-2
