מציאת שטח של משולש

היי
בשאלה הבאה, הצלחתי את סעיף א’ אבל את סעיף ב’ אני לא הצלחתי לפתור.
אשמח להסבר מפורט.
נתון השרטוט הבא:
image
במשולש ABC נתון: \measuredangle A= 42^{\circ} וגם AC=8cm. כמו כן, הצלע BC ארוכה ב-5 ס"מ מהצלע AB. פתרו את הסעיפים הבאים:
א. חשב את אורך הצלע BC.
ב. הצלע BD הוא התיכון לצלע AC. חשב את שטח המשולש BCD.

היי אריאל, ברוך הבא לפורום SolX.
אנא קרא את החוקים. כל פוסט מכיל שאלה אחת בלבד כדי שבעתיד יהיה קל לאנשים לחפש. כמו כן, אנו ממליצים לפרסם את השאלות בעזרת MathJax (קיים מדריך בנעוץ) כי קשה לחפש תוכן מתמונות. אם אתה מעוניין לפרסם פוסט חדש עם שאלה ואתה מסתבך עם MathJax, אנא שלח לי הודעה פרטית ואני אעזור לך לתרגם :slight_smile:
בהקשר של השאלה, אני אפתור אני שני הסעיפים למען הדורות הבאים.

פתרון סעיף א’
נתון כי הצלע BC ארוכה ב-5 ס"מ מהצלע AB ולכן אם נסמן את הצלע AB ב-x אז נקבל BC=x+5. דרך אחת לפתור את השאלה היא בעזרת בניית עזר - גובה מנקודה B לצלע AC. דרך נוספת היא להשתמש במשפט הקוסינוסים במשולש ABC:

BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2\cdot AB\cdot AC \cdot \cos\measuredangle A

נציב את הערכים, כך שנקבל:

\\ (x+5)^{2}=8^{2}+x^{2}-2\cdot 8\cdot x \cdot \cos 42^{\circ}\\ \\ x^2+10x+25=64+x^2-11.89x\\ \\ x=1.782cm

קיבלנו כי אורך הצלע AB הוא 1.782 ס"מ ולכן אורך הצלע BC הוא 6.782 ס"מ.

פתרון סעיף ב’
קודם כל, נחשב את הזווית \measuredangle C. ניתן להשתמש שוב במשפט הקוסינוסים או לחלופין במשפט הסינוסים. מאחר ובמקרה זה משפט הסינוסים יותר פשוט לחישוב, נשתמש בו:

\frac{BC}{\sin \measuredangle A} = \frac{AB}{\sin \measuredangle C}

נציב את הערכים, כך שנקבל:

\frac{6.782}{\sin 42^{\circ}} = \frac{1.782}{\sin \measuredangle C} \Rightarrow \measuredangle C = 10.126^{\circ}

עתה, נעביר תיכון מהנקודה B לצלע AC ונסמן את נקודת המפגש ב-D. כזכור, תיכון מחלק את הצלע אותו הוא חוצה לשני חלקים שווים ולכן נקבל AD=DC=4cm.
נחשב את שטח המשולש BCD:

S_{\triangle BCD}= \frac{1}{2}\cdot BC\cdot CD \cdot \sin \measuredangle C

נציב את הערכים, כך שנקבל:

S_{\triangle BCD}= \frac{1}{2}\cdot 6.782 \cdot 4 \cdot \sin \measuredangle 10.126=2.385cm^{2}

בהצלחה :slight_smile:

לייק 1