שלום לכולם, אני מנסה להוכיח את הגבול הבא בעזרת ההגדרת הגבול אפסילון-דלתא. הגבול המבוקש:
\lim_{x\to 2}\sqrt{x+7}=3
ממש אשמח לעזרה. תודה רבה!
יהי |x-2|<1. לכן 1<x<3. לפיכך נובע:
\begin{align}
|\sqrt{x+7}-3|&=|\sqrt{x+7}-3|\dfrac{|\sqrt{x+7}+3|}{|\sqrt{x+7}+3|}\\
&=|x-2|\dfrac{1}{|\sqrt{x+7}+3|}\lt\dfrac{|x-2|}{\sqrt{8}}
\end{align}
יהי \epsilon>0. נבחר \delta < \min (1,\sqrt{8}\epsilon) כך שנקבל:
|\sqrt{x+7}-3| \lt \dfrac{|x-2|}{\sqrt{8}}<\frac{\delta}{\sqrt{8}} \lt \epsilon
לכן ע"פ הגדרת הגבול נובע \lim_{x\to\infty}\sqrt{x+7}=3, כנדרש.