בעיות תנועה - פתרון של מערכת משוואות עם שלושה נעלמים

שני הולכי רגל יצאו באותו זמן והלכו זה לקראת זה, אחד מיישוב A והשני מיישוב B. הם נפגשו, המשיכו בדרכם, הגיעו ליעדם, אחד ל-B והשני ל-A, והחלו מייד לחזור אל היישוב ממנו באו. עד פגישתם השנייה (כשהלכו בחזרה) עבר הולך הרגל שיצא מ-A במשך 6 ק"מ יותר מהולך הרגל שיצא מ-B. הולך הרגל מ-A הגיע בחזרה ל-A שעה אחרי הפגישה הנ"ל והולך הרגל מ-B הגיע בחזרה ל-B שעתיים וחצי אחרי הפגישה הנ"ל. מצא את מהירויותיהם של הולכי הרגל ואת המרחק מ-A ל-B.

שלום לכולם, אשמח לעזרה עם השאלה הנ"ל.
הסתבכתי עם משוואות התנועה.

שלום @Amadeus וברוך הבא לפורום SolX. נפתור את הבעיה. נסמן את המרחק בין A ל-B ב-x. כמו כן, נסמן ב-y את המרחק שעבר הולך הרגל שיצא מנקודה B, לאחר שהסתובב עד הפגישה השנייה.

נתון כי עד פגישתם השנייה (כשהלכו בחזרה) עבר הולך הרגל שיצא מ-A במשך 6 ק"מ יותר מהולך הרגל שיצא מ-B ולכן נקבל את המשוואה הבאה:

x+y-6=x+x-y\Rightarrow x=2y-6

כמו כן, נתון כי הולך הרגל מ-A הגיע בחזרה ל-A, שעה אחרי הפגישה הנ"ל והולך הרגל מ-B הגיע בחזרה ל-B שעתיים וחצי אחרי הפגישה הנ"ל. נסמן את מהירותו של היוצא מ-A ב-V_{A} ואת מהירותו של היוצא מ-B ב-V_{B}. לכן נקבל:

V_A=\frac{x-y}{1}=x-y,\,\,\, V_B=\frac{y}{2.5}=\frac{2y}{5}

משוואת זמן מהתחלה ועד הפגישה השנייה:

\frac{x+y}{V_A}=\frac{2x-y}{V_B}

נציב את המשוואות שקיבלנו קודם:

\frac{x+y}{x-y}=\frac{5(2x-y)}{2y}

נציב את x שמצאנו קודם:

\frac{2y-6+y}{2y-6-y}=\frac{5(2(2y-6)-y)}{2y}

הפתרון של המשוואה הנ"ל הוא y=12km. נמצא את המרחק מ-A ל-B, כלומר את x:

x=2x-6=2\cdot12-6=18km

כלומר המרחק בין A ל-B הוא 18 ק"מ.
נמצא את המהירות של היוצא מ-A:

V_A=x-y=18-12=6km/h

נמצא את המהירות של היוצא מ-B:

V_B=\frac{2y}{5}=\frac{2\cdot 12}{5}=4.8km/h

מקווה שמובן, בהצלחה.

אני מודה לך על התגובה המהירה,
כן ירבו אנשים כמוך.

המפתח לפתרון את הבעיה הוא לצייר מערכת עם נקודות ולעקוב אחרי הבעיה. תחילה נעקוב אחרי הולך רגל A. הוא יצא מ-A, נפגש עם הולך ההרגל השני, הגיע ל-B ואז הגיע למפגש השני עם הולך הרגל השני. נסמן את נקודת המפגש בפעם השנייה ב-C. לכן המרחק ש-A עבר עד נקודת המפגש השנייה עם הולך הרגל השני הוא AB+BC. סימנו את המרחק AB להיות x. כמו כן, סמנו ב-y להיות המרחק שעבר הולך הרגל השני (זה שיצא בהתחלה מ-B) שיצא מנקודה A ועד הפגישה השנייה ולכן BC=y. כלומר הולך רגל ראשון הלך x+y עד המפגש השני שלהם.
כעת נתבונן על הולך הרגל השני (זה שיצא מ-B). הוא יצא מ-B, נפגש עם הולך הרגל הראשון, הגיע ל-A ואז הגיע למפגש השני עם הולך הרגל הראשון. לכן המרחק שהוא עבר הינו AB+AC. כמו שראינו AB=x. כמו כן, AC=AB-BC=x-y. לכן המרחק שהולך רגל השני עבר הינו x+x-y. נתון כי מרחק זה קטן ב-6 מהמרחק הקודם שמצאנו ולכן מכך מתקבלת הנוסחה.