בנייה של סדרה הנדסית חדשה משתי סדרות הנדסיות קיימות

מתמטיקה
1

נתונה סדרה הנדסית: a_1, a_2, a_3, \ldots , a_n.
האיבר השלישי בסדרה גדול ב-2 מהאיבר השני, והאיבר הרביעי גדול פי 2 מהאיבר השלישי.
נתונה סדרה הנדסית נוספת: b_1, b_2, b_3, \ldots , b_n.
משתי הסדרות בנים סדרה חדשה: a_1/b_1, a_2/b_2, a_3/b_3, \ldots , a_n/b_n.
מנת הסדרה החדשה היא 3, וסכום 10 האיברים הראשונים בסדרה החדשה הוא 7381.
מצא את הערך של n שעבורו b_n=\frac{4\cdot 8}{27} .

אשמח לעזרה עם השאלה. תודה לעונים.

2

תחילה, נמצא את a_1. נתון כי בסדרה הראשונה, האיבר הרביעי גדול פי 2 מהאיבר השלישי ולכן נוכל להסיק כי המנה q_a=2. כמו כן, האיבר השלישי גדול ב-2 מהאיבר השני ולכן נקבל:

\begin{align} a_3=a_2+2 &\Leftrightarrow a_1\cdot 2^2=a_1\cdot2^1+2\\ &\Leftrightarrow 2a_1=2 \Leftrightarrow a_1=1 \end{align}

כעת, נמצא את האיבר הראשון בסדרה השנייה, כלומר את b_1. הסדרה החדשה היא מהצורה:

\frac{1}{b_1},\frac{2}{b_2},\frac{4}{b_3},\ldots,\frac{2^n}{b_n}

נתון כי מנת הסדרה החדשה היא 3 ולכן בפרט מתקיים:

\frac{2/b_2}{1/b_1}=3\Rightarrow \frac{\frac{2}{b_1\cdot q_b}}{1/b_1}=3 \Rightarrow q_b=\frac{2}{3}

בנוסף לכך, נתון כי סכום 10 האיברים הראשונים בסדרה החדשה הוא 7381. לכן נקבל:

S_{10}=\frac{\frac{1}{b_1}(3^{10}-1)}{3-1}=7381\Rightarrow b_1=4

כעת, נרצה למצוא את n\in\mathbb{N} עבורו מתקיים b_n=\frac{4\cdot 8}{27}. נשים לב כי מתקיים:

b_1\cdot q_b^n=\frac{4\cdot 8}{27}

נציב את הנתונים שחישבנו קודם:

4\cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}=\frac{4\cdot 8}{27} \Rightarrow \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}=\frac{8}{27}=\left(\frac{2}{3}\right)^3

לכן, מכך נוכל להסיק כי מתקיים n-1=3, כלומר n=4, כנדרש.

3

תודה על התשובה, ממש ברור אבל נראה לי יש טעות: q_b=\frac{2}{3} ולא \frac{3}{2}.

4

תודה רבה על התיקון @Amadeus. בשאר המקומות זה היה \frac{2}{3} אז שאר התשובות אכן נכונות :slight_smile: