נוכיח את הזהות המבוקשת בעזרת חישוב מספר המסלולים על שריג מנקודה O(0,0) לנקודה A(r,n+m-r). מסלול חוקי הוא מסלול שבו כל צעד הוא ימינה או למעלה. נשרטט את השריג:
ישנם {x+y \choose x}={x+y \choose y} מסלולים חוקיים מהנקודה (0,0) אל נקודה כלשהי (x,y). אנו מעוניינים לחשב את המסלולים החוקיים מהנקודה O(0,0) לנקודה A(r,n+m-r). לכן, מצד אחד, מספר המסלולים החוקיים הוא {n+m \choose r}. מצד שני, כל מסלול אל הנקודה A יעבור דרך האלכסון x+y=m בנקודה כלשהי A_1(j,m-j). ישנם {m \choose j} מסלולים מנקודה O אל נקודה A_1. כמו כן, מספר המסלולים מנקודה A_1 אל נקודה A הוא:
{(n+m-r)-(m-j)+(r-j)\choose r-j}={n \choose r-j}
סה"כ נקבל:
\displaystyle
{n+m \choose k} = \sum_{j=0}^{k}{n \choose j}{m \choose k-j}