סדרת אתגרים במתמטיקה - אתגר שלישי

אתגר שלישי במתמטיקה של פורום SolX

ברוכים הבאים לאתגר השלישי בסדרת אתגרים במתמטיקה. הזוכה של שבוע שעבר הוא @marbd אשר סיפק הוכחה מצויינת לפתרון. אנחנו שמחים שהיו פתרונות רבים לבעיה של שבוע שעבר. כל הכבוד לכל מי שסיפק פתרון לבעיה - הפתרונות של כולם נבדקו ונמצאו נכונים ומפורטים. אם תצליחו למצוא פתרונות נוספים (ויש כאלה), אתם מוזמנים לפרסם אותם בפוסט של שבוע שעבר.

השבוע ננסה לחשב גבול. אתם מוזמנים להשתמש בכל כלי שעומד לרשותכם.

בעיית השבוע: חשבו את הגבול הבא:

\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{1^{2}+2^{2}+...+n^{2}}{n^{3}}\right)

את תשובתכם לשאלה, אתם מוזמנים לפרסם בתגובות של פוסט זה. זכרו כי תשובתיכם צריכה להיות מלאה, מפורטת ולהשתמש ב-\LaTeX. ראו מדריך כיצד להשתמש בכלי כאן.
בהצלחה לכולם! :slight_smile:

קודם כל מתקיים:

\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1^{2}+2^{2}+...+n^{2}}{n^{3}}\right)=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{\sum_{k=1}^{n}k^{2}}{n^{3}}\right)

נשתמש בזהות \sum_{k=1}^{n}k^{2}=\frac{n}{6}(n+1)(2n+1) , ולכן:

\begin{align*} \lim_{n\to\infty}\left(\frac{\sum_{k=1}^{n}k^{2}}{n^{3}}\right)&=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{\frac{n}{6}(n+1)(2n+1)}{n^{3}}\right)=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^{3}}\right)\\&= \lim_{n\to\infty}\left(\frac{n(2n^{2}+3n+1)}{6n^{3}}\right)=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{2n^{2}+3n+1}{6n^{2}}\right) \end{align*}

נחלק בחזקה הגבוהה:

\lim_{n\to\infty}\left(\frac{\frac{2n^{2}}{n^{2}}+\frac{3n}{n^{2}}+\frac{1}{n^{2}}}{\frac{6n^{2}}{n^{2}}}\right)=\frac{2+0+0}{6}=\frac{1}{3}

ערכתי בשבילך את הפוסט (בעיקר סינטקס). כמו כן, מחקתי את החלק של “כלל לופיטל” שכן לא נהוג להשתמש בו עבור סדרות, אלא עבור פונקציות. המשפט המקביל הוא משפט שטולץ שאיתו אפשר להוכיח אבל ההוכחה שלך מספיק נכונה :slight_smile:

אפשר להוכיח בעזרת סכומי רימן:

\begin{align} \lim_{n \to \infty} \frac{1^2 + 2^2 + \ldots + n^2}{n^3} &= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \left( \left(\frac{1}{n}\right)^2 + \left(\frac{2}{n}\right)^2 + \ldots + \left(\frac{n}{n}\right)^2 \right) \\&= \int_0^1 x^2 \mathrm{d}x = \frac{1}{3} \end{align}

אפשר להשתמש בזהות הבאה:

\sum_{k=0}^{n}x^{k}=\frac{x^{n+1}-1}{x-1}

נגזור כל צד, כך שנקבל:

\sum_{k=0}^{n}kx^{k}=\frac{nx^{n+2}-\left(n+1\right)x^{n+1}+x}{\left(x-1\right)^{2}}

נגזור שוב כל צד, כך שנקבל:

\sum_{k=0}^{n}k^{2}x^{k-1}=\frac{x^{n}\left(n^{2}\left(x-1\right)^{2}-2n\left(x-1\right)+x+1\right)-x-1}{\left(x-1\right)^{3}}

לכן נקבל:

\begin{align*} \sum_{k=0}^{n}k^{2}&= \sum_{k=1}^{n}k^{2}=\lim_{x\rightarrow1}\frac{x^{n}\left(n^{2}\left(x-1\right)^{2}-2n\left(x-1\right)+x+1\right)-x-1}{\left(x-1\right)^{3}}\\ &=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6} \end{align*}

לפיכך נקבל:

\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sum_{k=1}^{n}k^{2}}{n^{3}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6n^{3}}=\frac{1}{3}

אפשר להשתמש במשפט שטולץ (Stolz–Cesàro) ולקבל:

\begin{align} \lim_{n \to \infty}\frac{1^2 +2^2 + \cdots + n^2}{n^3} & = \lim_{n \to \infty}\frac{(n + 1)^2}{(n + 1)^{3} - n^{3}} = \lim_{n \to \infty}\frac{(n + 1)^2}{3n^2 + 3n + 1} \\ & = \frac{1}{3}\,\lim_{n \to \infty}\frac{(1 + 1/n)^2}{1 + 1/n + 1/3n^2} = \frac{1}{3} \end{align}