גבול של מכפלה של סדרות מוביל לסדרה אפסה

מתמטיקה
1

אשמח לעזרה בהוכחה או לפחות להסביר ההיגיון שמאחורי החשיבה.
אני ממש מתקשה בהוכחות ע"פ הגדרת הגבול.

הטענה: יהיו (a_n) ו-(b_n) סדרות כך שמתקיים \lim_{n\to\infty} a_n\cdot b_n=1 וגם \lim_{n\to\infty}b_n=\infty, אזי מתקיים \lim_{n\to\infty}a_n=0.

כיצד עלי להוכיח את הטענה הנ"ל?

2

נתון \lim_{n\to\infty} a_n\cdot b_n=1. לכן ע"פ הגדרת הגבול, עבור \varepsilon>0 קיים N_1\in\mathbb{N} כך שלכל n>N_1 מתקיים |a_nb_n-1|<\varepsilon. לפיכך נקבל:

|a_nb_n|<\varepsilon+1

בנוסף לכך, מתקיים \lim_{n\to\infty} b_n=\infty. לכן ע"פ הגדרת הגבול במובן הרחב, עבור M>0 קיים N_2 כך שלכל n>N_2 מתקיים b_n>M.
נבחר N=\max\{N_1,N_2\} כך שעבור \widetilde{\varepsilon}=\frac{\varepsilon+1}{M} נקבל:

|a_n|=\left|\frac{a_nb_n}{b_b}\right|=\frac{|a_nb_n|}{|b_n|}<\frac{\varepsilon+1}{M}=\widetilde{\varepsilon}

לכן \lim\limits_{n\to\infty} a_n=0, ע"פ הגדרת הגבול, כנדרש.