האם תת-קבוצה מכילה את וקטור האפס, סגורה לחיבור וכפל בסקלר

מתמטיקה
1

תהי C=\{p(x)\in \mathbb{R}_3[x]|p'(1)=p(0)\} תת קבוצה במרחב פולינומים עם מקדמים ממשיים בעלי דרגה לכל היותר 3.

פתרו את הסעיפים הבאים:

  • האם תת-קבוצה C מכילה את וקטור האפס?
  • האם C סגורה לחיבור? האם C סגורה לכפל בסקלר?
  • האם C מהווה תת מרחב של \mathbb{R}_{3}[x]?

אשמח לעזרה עם השאלה הנ"ל.
תודה רבה.

2

תת-מרחב של מרחב וקטורי כלשהו הוא תת-קבוצה שלו שמהווה בעצמה מרחב וקטורי. תת-מרחב חייב להיות מעל אותו שדה של המרחב הווקטורי והפעולות בו חייבות להיות אותן פעולות של המרחב הווקטורי. כדי לבדוק שתת-קבוצה W של המרחב הווקטורי V מעגל השדה \mathbb{F} מהווה מרחב וקטורי, די לבדוק את הפרטים הבאים:

  • הקבוצה W אינה ריקה.
  • הקבוצה W סגורה ביחס לחיבור, כלומר לכל u,v\in W מתקיים u+v\in W.
  • הקבוצה W סגורה ביחס לכפל בסקלר, כלומר לכל v\in W ו-\lambda\in\mathbb{F} מתקיים \lambda\cdot v\in W.

נבדוק האם תת-קבוצה C מכילה את וקטור האפס. נשים לב כי p(x)=0 הוא פולינום השייך למרחב הפולינומים עם מקדמים ממשיים בעלי דרגה לכל היותר 3. מתקיים p(0)=0. בנוסף לכך, נגזור את הפולינומים ונקבל p'(x)=0 ובפרט p'(1)=0. לפיכך נובע p'(1)=0=p(0), כלומר פולינום האפס שייך לת-קבוצה C.

נבדוק האם C סגורה לחיבור. לשם כך, עלינו לבדוק אם לכל זוג פולינומים p,q\in C מתקיים p+q\in C. מתקיים p,q\in C ולכן p'(1)=p(0) וגם q'(1)=q(0). לפיכך נקבל:

(p+q)'(1)=p'(1)+q'(1)=p(0)+q(0)=(p+q)(0)

לפיכך נובע כי תת-קבוצה C סגורה לחיבור.

נבדוק האם C סגורה ביחס לכפל בסקלר. לשם כך, עלינו לבדוק אם עבור פולינום p\in C מתקיים \lambda p\in C לכל \lambda \in \mathbb{R}. מתקיים p\in C ולכן ע"פ הגדרת התת-קבוצה C נובע p'(1)=p(0). לכן, לכל \lambda\in \mathbb{R} מתקיים:

(\lambda p)'(1)=\lambda p'(1)=\lambda p(0)=(\lambda p)(0)

לפיכך נובע כי תת-קבוצה C סגורה לכפל בסקלר.

הוכחנו כי קבוצה C אינה ריקה (שכן היא מכילה את פולינום האפס), סגורה לחיבור ולכפל בסקלר ולכן היא מהווה תת-מרחב של \mathbb{R}_3[x] ע"פ ההגדרה.