כיצד לבדוק אם מספר שייך לקבוצה?

[almog1006]

יש שלוש קבוצות A, B ,C המוגדרות באופן הבא:

A=\left\{\frac{y}{2^x}:x,y\in\mathbb{Z}\right\},\,B=\left\{\frac{y}{3^x}:x,y\in\mathbb{Z}\right\},\,C=\left\{\frac{y}{5^x}:x,y\in\mathbb{Z}\right\}

פתרו את הסעיפים הבאים:

1. האם ניתן לקבל את המספר שליש מהקבוצה A?
2. האם ניתן לקבל את המספר חמישית מהקבוצה B?
3. האם ניתן לקבל את המספר שביעית מהקבוצה C?

במידה וכן איך? במידה ולא איך אפשר להוכיח שלא ניתן לקבל את המספר מאותה קבוצה?
תודה מראש על העזרה.

[marbd]

מאחר וכל הסעיפים דומים, ובכולם התשובה היא לא, אני אפתור רק את הסעיף הראשון.
נניח בשלילה כי שליש נמצא ב-A. לכן ע"פ הגדרת הקבוצה A נובע כי קיימים x,y\in\mathbb{Z} כך שמתקיים \frac{y}{2^x}=\frac{1}{3}, כלומר 3y=2^x. נשים לב כי 3 ו-y, שניהם מספרים שלמים ולכן המכפלה שלהם, 3y, היא מספר שלם. לכן 2^x הוא מספר שלם. נתבונן על הפירוק לראשוניים של 2^x. מאחר ו-y הוא מספר שלם (לאו דווקא ראשוני) נובע כי 3 נמצא בפירוק לראשוניים של 3y. מצד שני, 3 לא יכול להימצא בפירוק לראשוניים של 2^x וזאת סתירה.