חישוב שטח ואורך צלע בטרפז

[Dragon]

המרובע ABCD הוא טרפז (AB\parallel CD). הנקודות E ו-F נמצאות על השוקיים AD ו-BC בהתאמה, כך שמתקיים EF\parallel DC. דרך הנקודה B מעבירים קטע BH מקביל לשוק AD.
נתון: AE=GF, AB=2\cdot AE, ED=4\cdot AE.
א. חשבו את היחס בין שטח המשולש BGF לשטח המשולש BHC.
ב. מנקודה G בונים אנך לקטע BF החותך אותו בנקודה K. נתון כי אורך הצלע BK הוא 3 ס"מ ואורך הצלע GK הוא 4 ס"מ. חשבו את אורך הקטע AE ואת שטח המשולש BHC.

תודה לעוזרים

[Captain-Oz]

א. שים לב שמתקיים \triangle BGF \sim \triangle BHC, לכן ניתן להשתמש במשפט - יחס שטחים בין משולשים דומים שקול ליחס הצלעות בריבוע, כלומר מתקיים:

\frac{S_{\triangle BGF}}{S_{\triangle BHC}} = (\frac{BG}{BH})^2 = (\frac{1}{5})^2 = \frac{1}{25}

ב. שים לב שהמרובע ABGE הוא מקבילית ולכן מתקיים AE=BG, נתון ש- AE=GF, טרנזיטיבית מתקבל BG=GF ולכן \triangle GBF הוא משולש שווה שוקיים.
מכיוון ש-\triangle GBF הוא שווה שוקיים אז האנך GK הוא גם תיכון וגם חוצה זווית, כלומר BK=KF=3.
לחישוב אורך הקטע AE אפשר להשתמש במשפט פיתגורס (\measuredangle GKB=90^\circ), נקבל:

GK^2+BK^2=GB^2 \rightarrow 3^2+4^2=GB^2 \rightarrow GB=\sqrt{25} = 5

עכשיו נשתמש במה שעשינו בסעיף א’ ונשתמש ביחס שחישבנו על מנת למצוא את S_{\triangle BFG}, נחשב:

S_{\triangle BFG}=\frac{GK\cdot BF}{2}=\frac{4\cdot 6}{2} = 12

עכשיו ניתן להציב את S_{\triangle BFG} ביחס ולפתור, אתן לך לעשות זאת בעצמך.