מציאת זוויות במשולש בעזרת גיאומטריה אנליטית

[Horse]

שלום לכולם, נתונה השאלה הבאה:

נתון משולש ישר זווית ABC (\angle C=90^{\circ}). נתונים שיעורי הקודקודים A(-5,6) ו-B(2,2). הקודקוד C נמצא על ציר ה-x.
א. מצא את שיעורי הנקודה C אם נתון שהיא נמצאת משמאל לישר x=-1.5.
ב. הישר עליו מונח היתר AB חותך את ציר ה-x בנקודה D (ראו ציור). מצאו את שיעורי הנקודה D וחשבו את שטח המשולש ACD.
ג. מצא את הזווית שיוצר הישר AD עם הכיוון החיובי של ציר ה-x.
ד. חשב את זוויות המשולש ACD.

שרטוט:

איך אני מוצא את הזווית שיוצר AD ואיך למצוא את זוויות המשולש ADC?
תודה רבה.

[Ben]

נפתור את הסעיפים:
א. נסמן השיעור ה-x של הנקודה C ב-t. כמו כן, ידוע כי הנקודה C נמצאת על הציר ה-x ולכן נקבל C(t,0). נמצא את אורך הצלע AC:

AC^2=(t-(-5))^2+(0-6)^2=t^2+10t+25+36=t^2+10t+61

נמצא את אורך הצלע CB:

CB^2=(t-2)^2+(0-2)^2=t^2-4t+4+4=t^2-4t+8

נמצא את אורך הצלע AB:

AB^2=((-5)-2)^2+(6-2)^2=65

משולש ACB הוא משולש ישר זווית ולכן ע"פ משפט פיתגורס מתקיים:

\begin{align*} AB^2=AC^2+CB^2 &\Leftrightarrow 65=(t^2+10t+61)+(t^2-4t+8) \\ &\Leftrightarrow 2t^2+6t+4=0 \\ &\Leftrightarrow t^2+3t+2=0 \\ &\Leftrightarrow (t+1)(t+2)=0 \end{align*}

קיבלנו שני פתרונות עבור שיעור ה-x של הנקודה C והם t_{1,2}=-1,-2. נתון כי הנקודה C נמצאת משמאל לישר y=-1.5 ולכן התשובה t=-1 נפסלת. קיבלנו C(-2,0).

ב. נמצא את משוואת הישר AB. לשם כך, עלינו למצוא את השיפוע של הישר AB:

m_{AB}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{2-6}{2-(-5)}=-\frac{4}{7}

כעת נמצאת את משוואת הישר AB:

y-2=-\frac{4}{7}(x-2)\Rightarrow y=-\frac{4}{7}x+\frac{22}{7}

נתון כי הנקודה D נמצאת על הציר האופקי ולכן y_D=0. לפיכך נקבל:

0=-\frac{4}{7}x_D+\frac{22}{7} \Rightarrow x_D=5.5

קיבלנו D(5.5,0). נותר לחשב את השטח ACD. אורך הישר CD הוא כמובן:

CD=5.5+2=7.5

נוריד גובה מנקודה A אל הציר האופקי. נסמן את נקודת החיתוך עם הציר האופקי ב-E. שיעור ה-y של הנקודה A הוא 6 ולכן אורך הגובה AE הוא 6. לכן שטח המשולש ACD הוא:

S_{ACD}=\frac{CD\cdot AE}{2}=\frac{7.5\cdot 6}{2}=22.5

ג. שיעורי הנקודה E שהוספנו הם (-5,0). לכן אורך הצלע ED הוא כמובן:

ED=5.5+5=10.5

המשולש AED הוא משולש ישר זווית (כאשר \angle E=90^{\circ}) ולכן בעזרת טריגונומטריה, נוכל לחשב את זוויות המשולש:

\tan\angle ADE=\frac{AE}{ED}\Leftrightarrow \tan\angle ADE=\frac{6}{10.5} \Leftrightarrow \angle ADE\approx 29.744^{\circ}

לכן הזווית שיוצר הישר AD עם הכיוון החיובי של הציר ה-x הינה:

180^{\circ}-29.744^{\circ}=150.256^{\circ}

ד. נחשב את הצלע AC:

AC=\sqrt{t^2+10t+61}=\sqrt{(-2)^2+10\cdot (-2)+61}=\sqrt{45}

המשולש ABC הוא משולש ישר זווית ולכן נוכל לחשב בעזרת טריגונומטריה, נוכל לחשב את זוויות המשולש:

\cos\angle CAB=\frac{AC}{AB}\Leftrightarrow \cos\angle CAB=\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{65}} \Leftrightarrow \angle ADE\approx 33.69^{\circ}

כעת, נוכל לחשב את הזווית \angle ACD:

\angle ACD=180^{\circ}-\angle CAB-\angle ADC=180^{\circ}-33.69^{\circ}-29.744^{\circ}=116.566^{\circ}

בהצלחה.