הוכיחו שאם a_n\to a אז הסדרה b_n=\max\{a_1,a_2,\ldots,a_n\} מתכנסת.
מתי מתקיים \lim a_n=\lim b_n?
שלום הסתבכתי עם ההוכחה בשאלה הבאה. אשמח לעזרה 
אם הסדרה a_n מתכנסת אז היא חסומה מלעיל. לכן קיים M\in\mathbb{R} כך שלכל n\in\mathbb{N} מתקיים a_n<M. לכן מתקיים:
b_n=\max\{a_1,a_2,\ldots,a_n\}<M
לפיכך נובע כי גם הסדרה b_n חסומה מלעיל. כמו כן, לכל n\in\mathbb{N} מתקיים b_n<b_{n+1} (הוכחה פשוטה באינדוקציה) ולכן הסדרה מוטונית עולה. לכן הסדרה b_n מתכנסת כנדרש.
לגבי השאלה השנייה, להלן רמז: עבור a_n=\frac{1}{n} מתקיים:
\lim_{n\to\infty}b_n=1\neq 0=\lim_{n\to\infty}a_n