נתונה השאלה הבאה: W הוא האיחוד של מטריצות אנטי-סימטריות ומטריצות שבהן סכום איברי האלכסון שווה לאפס. הוכח/הפרך: W הוא מרחב וקטורי.
האם כדי להוכיח שהקבוצה W היא מרחב וקטורי אפשר לומר שקבוצת המטריצות האנטי סימטריות מוכלת בקבוצת המטריצות שסכום איברי האלכסון שלהן הוא 0, ולכן האיחוד זה בעצם כל המטריצות שסכום איברי האלכסון שלהן הוא 0. ואז להוכיח רק עבור הקבוצה השניה? או שחייב להראות קודם שכל קבוצה היא מרחב וקטורי בפני עצמה?
בקיצור התשובה היא שאתה צודק.
ביותר ארוך: קבוצת המטריצות האנטי-סימטריות אכן מוכלת בקבוצת המטריצות עם אפסים באלכסון. לשם כך, עלייך להוכיח שעבור כל מטריצה A=[a_{i,j}]_{n\times n}\in M_{n\times n}(\mathbb{F}), לכל 1\leq i\leq n מתקיים a_{i,i}=0.
נוכיח זאת (מוזמן לנסות לבד שכן ההוכחה פשוטה מאוד):
תהא A=[a_{i,j}]_{n\times n}\in M_{n\times n}(\mathbb{F}) מטריצה אנטי-סימטרית כלשהי. לכן ע"פ תכונת האנטי-סימטריות לכל i,j מתקיים a_{i,j}=-a_{j,i}. בפרט מתקיים a_{i,i}=-a_{i,i}. נעביר אגפים ונקבל 2a_{i,i}=0, כלומר a_{i,i}=0, כנדרש.
הוכחנו שאיברי האלכסון של כל מטריצה אנטי-סימטרית הם אפסים ולכן היא מוכלת בקבוצת המטריצות שבהן סכום איברי האלכסון שווה לאפס, אולם היא אינה שווה לקבוצה זו שכן למשל המטריצה הבאה אינה אנטי-סימטרית למרות שהיא מכילה אפסים באלכסון:
לכן, כל שעלייך לעשות הוא להוכיח שקבוצת המטריצות עם אפסים באלכסון היא מרחב וקטורי.
מקווה שמובן, בהצלחה!