שלום לכולם, אני מנסה להוכיח בעזרת משפט לגרנז’ את הטענה הבאה:
תהי G חבורה סופית. הוכיחו כי G מסדר זוגי אם ורק אם קיים ב-G איבר מסדר 2.
אין לי מושג איך לגשת אל השאלה ולכן אשמח לעזרה.
תודה רבה.
נפריד לכיוונים:
- נניח כי קיים איבר מסדר 2 בחבורה G. לכן ע"פ משפט לגראנז‘, הסדר של איבר מחלק את סדר החבורה ולכן סדר החבורה זוגי.
- נניח כי חבורה G היא מסדר זוגי. נשים לב כי איבר מסדר 2 הוא הופכי של עצמו. נניח בשלילה שאין אף איבר בחבורה G מסדר 2, כלומר שאין אף איבר שהופכי לעצמו, פרט
לאיבר היחידה. אז ניתן לסדר את כל איברי החבורה בזוגות, כאשר כל איבר מזווג
לאיבר ההופכי לו (השונה ממנו). יחד עם איבר היחידה נקבל סה"כ מספר אי זוגי של איברים ב-G, בסתירה להנחה.
קיבלנו כי חבורה מסדר זוגי אם"ם בחבורה איבר מסדר 2, כנדרש.