יהי V מרחב וקטורי מעל \mathbb{F} ויהי V_1,V_2,V_3 תת-מרחבים של V.
הפרך ע"י דוגמה נגדית או הוכח את הטענה הבאה:
אם V=\mathbb{R}^2, V_2=\{(b,b)\,:\,b\in\mathbb{R}\} ו- V_1=\{(a,0)\,:a\in\mathbb{R}\} אז מתקיים V=V_1\oplus V_2.
ערב טוב אשמח לעזרה עם השאלה.
תודה רבה.
מרחב וקטורי V הוא סכום ישר של U ו-W אם ורק אם מתקיים V=U+W וגם U\cap W=\{0\}.
נראה כי התנאי הראשון מתקיים, כלומר נוכיח כי V=V_1+V_2. נוכיח זאת על-ידי הכלה דו-כיוונית.
נראה כי מתקיים V_1+V_2\subseteq V. יהיו a,b\in\mathbb{R} כך שמתקיים (a,0)\in V_1 וגם (b,b)\in V_2. לכן מתקיים:
מתקיים a,a+b\in\mathbb{R} ולכן (a+b,b)\in V. קיבלנו כי מתקיים V_1+V_2\subseteq V.
נראה כי מתקיים V_1+V_2\supseteq V. יהיו a,b\in\mathbb{R} כך שמתקיים (a,b)\in\mathbb{R}. נשים לב כי ניתן לפרק באופן הבא:
מתקיים (a-b,0)\in V_1 וגם (b,b)\in V ולכן (a-b,0)+(b,b)\in V_1+V_2, כלומר (a,b)\in V_1+V_2 ולכן V_1+V_2\supseteq V.
קיבלנו V_1+V_2\subseteq V וגם V_1+V_2\supseteq V ולכן מאנטיסימטריות ההכלה V_1+V_2= V.
כעת נראה כי מתקיים V_1\cap V_2=\{(0,0)\}. נוכיח שוב על-ידי הכלה דו-כיוונית.
נראה כי מתקיים V_1\cap V_2\subseteq \{(0,0)\}. יהיו a,b\in\mathbb{R} כך שמתקיים (a,b)\in V_1\cap V_2. על-ידי הגדרת החיתוך נובע (a,b)\in V_1 וגם (a,b)\in V_2. מתקיים (a,b)\in V_1 ולכן ע"פ הגדרת הקבוצה b=0. כמו כן מתקיים (a,b)\in V_2 ולכן ע"פ הגדרת הקבוצה a=b. נשלב את שני התנאיים ונקבל a=b=0. לכן נוכל להסיק כי מתקיים V_1\cap V_2\subseteq \{(0,0\}.
נראה כי מתקיים V_1\cap V_2\supseteq \{(0,0)\}. נשים לב כי 0\in\mathbb{R} ולכן (a=0,0)\in V_1 וגם (b=0,b=0)\in V_2. לפיכך נובע (0,0)\in V_1 וגם (0,0)\in V_2 ולכן ע"פ הגדרת החיתוך נובע (0,0)\in V_1\cap V_2, כלומר V_1\cap V_2\supseteq \{(0,0)\}.
הראנו כי V_1\cap V_2\subseteq \{(0,0)\} וגם V_1\cap V_2\supseteq \{(0,0)\} ולכן V_1\cap V_2= \{(0,0)\}.
הראנו כי מתקיים V=V_1+V_2 וגם V_1\cap V_2= \{(0,0)\} ולכן V הוא סכום ישר של V_1 ו-V_2, כנדרש.
אבל מתקיים (2,3)=(-1,0)+(3,3)
כאשר (-1,0)\in V_{1} ו-(3,3)\in V_{2}
לדעתי אתה יכול לכתוב כל איבר (x,y)\in V כך: (x,y)=(x-y,0)+(y,y)
