חישוב הסתברות של הטלת מטבעות בעזרת נוסחת בייס

מתמטיקה
1

נניח שלפנינו שני כדים.

  1. בכד א’ שלושה כדורים אדומים ושני כחולים.
  2. בכד ב’ שני כדורים אדומים ושלושה כחולים. מטילים מטבע הוגן (הסתברות 0.5 לכל צד).

אם יצא ‘עץ’ בהטלה, שולפים באקראי כדור מכד א’ ואם יצא ‘פלי’ בהטלה, שולפים באקראי כדור מכד ב’. בהינתן ששלפנו כדור אדום, מה הסיכוי שיצא ‘עץ’ בהטלה?

עברה תקופה מאז שעשיתי את הקורס בהסתברות ואינני זוכר כיצד לפתור את השאלה בסיסית הנ"ל. אני מניח שצריך להשתמש בנוסחת בייס על מנת לפתור אותה אבל כיצד?
תודה רבה על העזרה.

2

אתה צודק שאפשר להשתמש בנוסחת בייס על מנת לפתור את השאלה. ברור כי בכד א’ יותר כדורים אדומים מאשר בכד ב’. לכן סיכוי גדול יותר שהוצאנו כדור מכד א’ (עץ) מאשר מכד ב’. נוכיח זאת מתמטית:
נגדיר מאורע H להיות המקרה בו יצא עץ בהטלת המטבע. כמו כן, נגדיר מאורע R להיות המקרה בו שלפנו כדור בצבע אדום. המטבע הוגן ולכן ההסתברות לקבל עץ בהטלה שווה להסתברות לקבל פלי בהטלה ולכן נקבל:

P(H)=P(H^c)=0.5

בכד א’ יש שלושה כדורים אדומים מתוך חמישה כדורים סה"כ. לכן, בהינתן שיצא עץ בהטלה, ההסתברות שנשלוף כדור בצבע אדום הינה:

P(R|H)=\frac{3}{5}

בכד ב’ יש שני כדורים אדומים מתוך חמישה כדורים סה"כ. לכן, בהינתן שיצא פלי בהטלה, ההסתברות שנשלוף כדור בצבע אדום הינה:

P(R|H^c)=\frac{2}{5}

לכן ע"פ נוסחת בייס להסתברות שלמה:

P(H|R)=\frac{P(R|H)\cdot P(H)}{P(R|H)\cdot P(H)+P(R|H^c)\cdot P(H^c)}=\frac{\frac{3}{5}\cdot \frac{1}{2}}{\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{2}+\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{2}}=\frac{3}{5}

לכן הינתן ששלפנו כדור אדום, ההסתברות שיצא ‘עץ’ בהטלה הינה \frac{3}{5}.