הוכחת אי-שוויון קושי-שוורץ

שלום לכולם, אני מנסה להוכיח את אי-שוויון קושי-שוורץ (Cauchy-Schwarz inequality) אשר אומר:

לכל u,v\in V מתקיים אי-השוויון |\langle u,v\rangle|\leq||u||\cdot||v||.
השוויון מתקיים אם ורק אם u,v תלויים לינארית.

כיצד עלי להוכיח את המשפט. אשמח להסבר.
תודה רבה על כל העזרה.

תחילה נוכיח כי לכל u,v\in V מתקיים אי-השוויון |\langle u,v\rangle |\leq ||u||\cdot||v||. אם u\neq 0 אז נתבונן בווקטור w=\frac{1}{||u||}u. נשים לב כי מתקיים ||w||=1 ולכן מדובר בוקטור נורמלי. נתבונן ב-W=Span\{w\}. הקבוצה \{w\} בסיס אורתונורמלי של W, כלומר גם \{w\} קבוצה אורתונורמלית ב-V. נשתמש באי-שוויון בסל ונקבל כי לכל v\in V מתקיים:

\begin{align*} ||v||^2 & \geq |\langle u,v\rangle|^2=\left|\left\langle v,\frac{1}{||u||}u\right\rangle \right|^2 \\ &=\left|\frac{1}{||u||}\langle v,u\rangle \right|^2=\left(\frac{1}{||u||}\right)^2|\langle u,v\rangle|^2 \end{align*}

מכך נובע ||v||^2||u||^2\geq |\langle u,v\rangle|^2, כנדרש.
אם u=0 אזי לכל v\in V מתקיים \langle u,v\rangle =0 וגם ||u||=0 ולכן מתקיים השוויון.

כעת, כדי להראות כי השוויון מתקיים אם"ם u,v ת"ל אזי נראה כי אם u\neq 0 אזי לפי ההרחבה של אי-שוויון בסל נובע כי השוויון מתקיים אם ורק אם v\in Span\{w\} כלומר אם ורק אם v\in Span\{u\}, כלומר אם"ם u,v תלויים לינארית.