הראו שסדרת a_n היא עולה או עולה ממש אם ורק אם אם הסדרה -a_n היא יורדת או יורדת ממש, בהתאמה. מתי עלייה של a_n גוררת עלייה של \frac{1}{a_n}?
אשמח לעזרה עם השאלה הנ"ל.
תודה רבה.
תהי a_n סדרה עולה או עולה ממש. לכן ע"פ ההגדרה לכל n\in\mathbb{N} מתקיים a_n\leq a_{n+1} או a_n<a_{n+1} בהתאמה. נכפול במינוס אחד ולכן נקבל כי לכל n\in\mathbb{N} מתקיים -a_n\geq -a_{n+1} או -a_n>a_{n+1} בהתאמה. לכן ע"פ ההגדרה קיבלנו כי הסדרה -a_n היא סדרה יורדת או יורדת ממש.
כל המעברים הם אם"ם ולכן הטענה מתקיימת גם הפוך.
אם הסדרה a_n היא סדרה עולה כך שאיבריה הם בעלי סימן קבוע (חיוביים או שליליים) אזי ע"פ ההגדרה לכל n\in\mathbb{N} מתקיים a_n< a_{n+1} ולכן מתקיים \frac{1}{a_{n+1}}< \frac{1}{a_n} ולכן הסדרה \frac{1}{a_n} יורדת.
אולם, אם האיברים בסדרה הם אינם בעלי סימן קבוע, אזי הסדרה \frac{1}{a_n} לא עולה/יורדת. למשל עבור הסדרה \{-1,2,5,\ldots\} נקבל את הסדרה \{-1,\frac{1}{2},\frac{1}{5}\} שהיא אינה סדרה עולה או יורדת.
לכן התשובה היא שעלייתה של הסדרה a_n אף פעם לא תגרור את עלייתה של הסדרה \frac{1}{a_n}.