הוכיחו שהפונקציה f(x)=\sqrt{x} רציפה בקטע (0,\infty).
אני ממש מתקשה בחומר הזה. אם מישהו יכול לעזור לי בהוכחה אני ממש אודה לו!
פונקציה f המוגדרת בקטע הפתוח I=(a,b) נקראת רציפה בקטע I אם לכל x\in I מתקיים שהפונקציה f רציפה בנקודה x.
נוכיח כי הפונקציה f(x)=\sqrt{x} רציפה בכל נקודה בקטע (0,\infty). תהי x_0>0 נקודה כלשהי. נראה כי הפונקציה f רציפה ב-x_0. לצורך כך, עלינו להוכיח כי לכל \epsilon >0 קיים \delta>0 כך שאם |x-x_0|<\delta אז |\sqrt{x}-\sqrt{x_0}|<\epsilon. נכפיל ונחלק בביטוי הצמוד:
|\sqrt{x}+\sqrt{x_0}|=\frac{|\sqrt{x}-\sqrt{x_0}|\cdot |\sqrt{x}+\sqrt{x_0}|}{|\sqrt{x}-\sqrt{x_0}|}=\frac{|x-x_0|}{|\sqrt{x}+\sqrt{x_0}|}
מכך נוכל להסיק כי מתקיים:
|\sqrt{x}-\sqrt{x_0}|\leq \frac{|x-x_0|}{\sqrt{x_0}}
נגדיר \delta=\min\{x_0,\epsilon\sqrt{x_0}\}. אם |x-x_0|<\delta אז |x-x_0|<x_0 ולכן x>0 וגם |x-x_0|<\epsilon\sqrt{x_0}. לפיכך נקבל:
|\sqrt{x}-\sqrt{x_0}|\leq\frac{x-x_0}{\sqrt{x_0}}<\frac{\epsilon\sqrt{x_0}}{\sqrt{x_0}}=\epsilon
כנדרש.