שלילת גבול בלשון אפסילון-דלתא ובעזרת הגבול של היינה

הוכיחו כי מתקיים:

\lim_{x\to2}\frac{x+1}{2x+3}\neq 2

בעזרת שתי דרכים:
א. לפי הגדרת הגבול במונחים של אפסילון-דלתא.
ב. לפי הגדרת הגבול של היינה.

נסמן f(x)=\frac{x+1}{2x+3}.
שלילת הגבול לפי קושי: אם קיים \epsilon>0 כך שלכל \delta>0 קיים x כך שמתקיים 0<|x-x_0|<\delta עבורו מתקיים |f(x)-L|\geq\epsilon אזי נובע \lim_{x\to x_0}f(x)\neq L.
נוכיח כי מתקיים \lim_{x\to 2}f(x)\neq 2 בעזרת שלילת הגבול לפי קושי. בהינתן \epsilon>0, נרצה למצוא \delta>0 כך שאם מתקיים 0<|x-2|<\delta אזי |f(x)-2|\geq\epsilon. ע"פ אי-שוויון המשולש מתקיים:

\begin{align*} |f(x)-2|&=|f(x)-f(2)+f(2)-2|\\ &\geq |2-f(2)|-|f(x)-f(2)| \end{align*}

נסמן M=|2-f(2)|>0 ולכן נקבל |f(x)-2|\geq M-|f(x)-f(2)|.
נבחר \epsilon=0.5M. לכן לכל \delta >0, קיים x_0 כך שמתקיים 0<|x_0-2|<\delta וגם |f(x_0)-f(2)|<\frac{M}{4}. מכך נובע:

|f(x_0)-2| \ge M-\frac{M}{4}>\epsilon\

לכן \lim_{x\to 2}f(x)\neq 2, כנדרש.

שלילת הגבול לפי היינה: אם קיימת סדרה x_0\neq x_n\to x_0 כך שמתקיים \lim_{n\to\infty}f(x_n)\neq L אזי \lim_{x\to x_0} f(x)\neq L. המקרה הזה יותר פשוט, פשוט תבחרי סדרה שמקיימת \lim_{n\to\infty}f(x_n)\neq 2.