שלום, רציתי לשאול איך אני מוכיח שלפונקציית דריכלה אין גבול?
למען הסדר הטוב, הפונקציה D(x) המוגדרת באופן הבא:
D(x)=\left\{\begin{matrix}
1 & x\in\mathbb{Q}\\
0 & x\not\in\mathbb{Q}
\end{matrix}\right.
נקראת פונקציית דיריכלה.
כדי להוכיח שלפונקציית דירכלה אין גבול, נוכיח את טענת העזר הבאה: לכל x\in\mathbb{R}, קיימות שתי סדרת מספרים, אחת רציונלית והשנייה אי-רציונלית, אשר כל אחת מהן מתכנסת ל-x.
הוכחת טענת העזר: נוכיח עבור סדרת מספרים רציונליים (ההוכחה עבור סדרת מספרים אי-רציונליים זהה). המספרים הרציונליים צפופים בישר הממשי, כלומר בכל קטע (a,b) קיים מספר רציונלי. לכן, בהינתן x\in\mathbb{R}, לכל n\in\mathbb{N} ניתן לבחור מספר רציונלי q_n בקטע (x,x+1/n). לכן מתקיים:
x<q_n<x+\frac{1}{n}
ע"פ משפט הסנדוויץ’ נובע \lim_{n\to\infty}q_n=x. לכן קיימת סדרת מספרים רציונליים המתכנסת ל-x, כנדרש.
כעת נוכיח כי לכל x_0\in\mathbb{R}, הגבול \lim_{x\to x_0}D(x) לא קיים.
ע"פ טענת העזר, קיימת סדרה \left(a_n\right)_{n=1}^{\infty} של מספרים רציונליים המתכנסת ל-x_0. כמו כן, קיימת סדרה \left(b_n\right)_{n=1}^{\infty} של מספרים אי-רציונליים המתכנסת ל-x_0.
נניח בשלילה כי הגבול \lim_{x\to x_0}D(x) קיים. מצד אחד, ע"פ הגדרת הגבול של היינה מתקיים:
\lim_{x\to x_0} D(x)=\lim_{n\to\infty}D(a_n)=\lim_{n\to \infty}1=1
מצד שני, ע"פ הגדרת הגבול של היינה מתקיים:
\lim_{x\to x_0} D(x)=\lim_{n\to\infty}D(b_n)=\lim_{n\to \infty}0=0
קיבלנו סתירה. לכן הנחת השלילה שגויה, כלומר הגבול \lim_{x\to x_0}D(x) לא קיים.